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Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 6.2
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 6.2 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 6.2.1
(Lösung)
Wir definieren auf $\Z\x\Z$ die Rechenoperationen
\begin{align*}
(a,b)+(a',b') &:= (a+a',b+b'),\\
(a,b)\cdot(a',b') &:= (aa'+2bb',ab'+ba').
\end{align*}
Zeigen Sie, dass $(\Z\x\Z,+,\cdot)$ ein Integritätsbereich ist.
Aufgabe 6.2.2 (Erweiterungsstoff)
Sei $(G,+)$ eine Untergruppe von $(\Z,+)$. Beweisen Sie das folgende
Resultat. Es gibt genau eine natürliche Zahl $n$, so dass
$G=\{kn\mid k\in\Z\}$. Für welche $n$ ist $G$ isomorph zu $\Z$?.
Aufgabe 6.2.6 (Erweiterungsstoff)
Beweisen Sie, dass die Multiplikation auf $\Z$ wohldefiniert ist.
Aufgabe 6.2.7 (Erweiterungsstoff)
Beweisen Sie, dass die Ordnungsrelation auf $\Z$ wohldefiniert ist.
