Einführung in das mathematische Arbeiten

Aufgabe 6.1.2

Sei $b>1$ eine natürliche Zahl. Beweisen Sie, dass jede natürliche Zahl $n > 0$ eindeutig geschrieben werden kann als $$ n = \sum_{i=0}^{K}a_{i}b^{i} $$ mit $K\in\N$, $0\leq a_{i} < b$ und $a_{K}\neq 0$. Die Form $$ (a_{K}a_{K-1}\ldots a_{0})_{b} $$ heißt die $b$–adische Darstellung der Zahl $n$, oder die Darstellung (Entwicklung) der Zahl $n$ zur Basis $b$. Das System mit $b=10$ entspricht natürlich unserer Dezimalnotation. Weitere wichtige Basen, speziell in der Informatik, sind $2$ (Binärdarstellung), $8$ (Oktaldarstellung) und $16$ (Hexadezimaldarstellung, wobei man für die "Ziffern" 10–15 üblicherweise die Buchstaben A–F verwendet).

Aufgabe 6.1.3 (Lösung)

Berechnen Sie die Binär-, Oktal- und Hexadezimaldarstellungen (siehe Aufgabe 6.1.2) der folgenden Zahlen $$ 1742,\qquad 1048576,\qquad 213,\qquad 11138. $$

Aufgabe 6.1.4 (Lösung)

Berechnen Sie die Darstellung zur Basis $3$ (siehe Aufgabe 6.1.2) von $$ 9,\qquad 27,\qquad 1241,\qquad 343. $$ Bestimmen Sie die ersten hundert und die letzten hundert Ziffern der Grahamschen Zahl $G$ zur Basis $3$.

Aufgabe 6.1.5 (Lösung)

Sei $m=pq$ mit Primzahlen $p$ und $q$. Sei $c$ ein echter Teiler von $m$. Zeigen Sie, dass $c=p$ oder $c=q$ gilt.

Aufgabe 6.1.20 (Erweiterungsstoff)

Beweisen Sie die Gültigkeit der Gleichung $1+1=2$ von Seite 11 der Einleitung.