Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 5.4
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 5.4 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 5.4.6 (Lösung)
Auf der Menge
0
1ab
01ab 0 0000 1 01ab a 0ab1 b0b1a+)Aufgabe 5.4.12 (Lösung)
Sei (K,+,\cdot) Körper. Wir vereinbaren für a,b\in K mit b\not=0 die Schreibweise a/b:=\frac{a}{b}:=ab^{-1}. Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden "`Regeln der Bruchrechnung"' (a,b,c,d\in K, b,d\not=0):- \displaystyle\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd},
- \displaystyle\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},
- \displaystyle\frac{a/b}{c/d}=\frac{ad}{bc}\quad(c\neq0).
Aufgabe 5.4.17 (Lösung)
Definieren Sie \Q\lbrack\sqrt{3}\rbrack analog zu Beispiel 5.4.16 durch\begin{align*}
(a_{1}+b_{1}\sqrt3)\oplus(a_{2}+b_{2}\sqrt{3})&:=
(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\sqrt{3}\\
(a_{1}+b_{1}\sqrt3)\otimes(a_{2}+b_{2}\sqrt{3})&:=
(a_{1}a_{2}+3b_{1}b_{2})+(a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2})\sqrt{3}.
\end{align*}
Zeigen Sie, dass \Q[\sqrt{3}] ein Unterkörper von \R ist.
Aufgabe 5.4.18 (Lösung)
Betrachten Sie noch einmal den Körper \mathbb{F}_{4} aus Aufgabe 5.4.6 und den Körper \Z_{2} aus Bemerkung 5.4.4. Zeigen Sie, dass \Z_{2} ein Unterkörper von \mathbb{F}_{4} ist.Aufgabe 5.4.19 (Erweiterungsstoff) (Lösung)
Sei \Q[i]:=\{a+ib\mid a,b\in\Q\}\subseteq\C. Beweisen Sie, dass \Q[i] ein Unterkörper von \C ist.Aufgabe 5.4.22 (Lösung)
Wir definieren auf \Q\x\Q (alternative) Verknüpfungen durch\begin{align*}
(a_{1},a_{2})+(b_{1},b_{2})&:=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})\\
(a_{1},a_{2})\cdot(b_{1},b_{2})&:=
(a_{1}b_{1}+3a_{2}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).
\end{align*}
Beweisen Sie, dass (\Q\x\Q,+,\cdot) ein Körper ist.
Zeigen Sie weiters, dass dieser Körper isomorph zu \Q[\sqrt3]
aus Aufgabe 5.4.17 ist.
Aufgabe 5.4.23 (Lösung)
Auf den reellen Zahlen \R definieren wir die Verknüpfungen\begin{align*}
a\oplus b &:= a + b - 3,\\
a\otimes b &:= (a-3)(b-3)+3 = ab - 3a - 3b + 12.
\end{align*}
Weisen Sie nach, dass (\R,\oplus,\otimes) ein Körper ist.
Geben Sie einen Körperisomorphismus
\ph:(\R,\oplus,\otimes)\to(\R,+,\cdot) an.
Aufgabe 5.4.24 (Erweiterungsstoff) (Lösung)
Wir betrachten die Teilmenge
K := \biggl\{
\begin{pmatrix}
a & b \\ -b & a
\end{pmatrix}\
\biggr|\ \biggl. a,b\in\Q\biggr\}
von (M_{2}(\R),+,\cdot). Zeigen Sie, dass (K,+,\cdot) ein
Körper ist, der isomorph zu \Q[i] (siehe Aufgabe 5.4.19)
ist.