Wenn Sie das Buch noch nicht kennen, dann können Sie hier weitere Informationen finden.

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 5.3

Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 5.3 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.

 


Aufgabe 5.3.3 (Lösung)

Überprüfen Sie, ob in $(\Z_{4},+,\cdot)$ und $(\Z_{5},+,\cdot)$ die Distributivgesetze gelten. (Achtung, direktes Nachrechnen ist hier nicht zielführend! Suchen Sie nach einer alternativen Beweismöglichkeit.)
 


Aufgabe 5.3.4 (Lösung)

Rechnen Sie nach, dass in $(M_{2}(\R),+,\cdot)$ die Distributivgesetze gelten.
 


Aufgabe 5.3.12 (Lösung)

Bildet $(FP_{2},\oplus,\otimes)$ (siehe Beispiel 5.1.1) einen Ring?
 


Aufgabe 5.3.13 (Lösung)

Betrachten wir die Menge $R=\{0\}$ mit den Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ mit $0+0=0$ und $0\cdot 0=0$. Zeigen Sie, dass $(R,+,\cdot)$ einen kommutativen Ring bildet, den trivialen Ring. Ist der triviale Ring ein Ring mit Einselement? Wie sieht der einfachste Ring mit Einselement aus?
 


Aufgabe 5.3.14 (Lösung)

Sei $\eps$ ein Symbol, das kein Element von $\R$ repräsentiert. Wir betrachten die Menge $\R[\eps]:=\{a+b\eps\mid a,b\in\R\}$ und definieren darauf die beiden Verknüpfungen $\oplus$ und $\odot$ durch \begin{align*} (a+b\eps)\oplus(a'+b'\eps) &:= (a+a')+(b+b')\eps, \\ (a+b\eps)\odot(a'+b'\eps) &:= aa'+(ab'+a'b)\eps. \end{align*} Weisen Sie nach, dass $(\R[\eps],\oplus,\odot)$ ein Ring ist.
 


Aufgabe 5.3.15 (Lösung)

Für die beiden Polynome $p,q\in\R[x]$ \begin{align*} p(x) &= \sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \\ q(x) &= \sum_{j=0}^{m}b_{j}x^{j} \end{align*} bestimmen Sie die Koeffizienten von $p+q$ und $pq$. Danach zeigen Sie nur unter Zuhilfenahme der berechneten Formeln, dass $\R[x]$ ein kommutativer Ring mit Einselement ist.
 


Aufgabe 5.3.17 (Lösung)

Führen Sie den Schritt im obigen Beweisteil (i), dass in einem Ring $(R,+,\cdot)$ tatsächlich $0r=0$ für alle $r\in R$ gilt, explizit aus.
 


Aufgabe 5.3.18 (Lösung)

Machen Sie den Schritt im obigen Beweisteil (ii) explizit, indem sie zeigen, dass in einem Ring $(R,+,\cdot)$ für $r,s\in R$ tatsächlich $-(rs)=r(-s)$ gilt.
 


Aufgabe 5.3.21 (Lösung)

Überprüfen Sie, ob die geraden Zahlen $(\Z_{g},+,\cdot)$ einen Teilring der ganzen Zahlen $(\Z,+,\cdot)$ bilden.
 


Aufgabe 5.3.22 (Lösung)

Betrachten Sie die Teilmenge $S:=\{0, 2, 4\}$ von $(\Z_{6},+,\cdot)$. Bildet $S$ einen Unterring von $\Z_{6}$?
 


Aufgabe 5.3.23 (Lösung)

Wir betrachten die $2\x 2$–Matrizen mit ganzzahligen Einträgen, $(M_{2}(\Z),+,\cdot)$ mit den von $(M_{2}(\R),+,\cdot)$ ererbten Operationen. Ist $M_{2}(\Z)$ ein Unterring von $M_{2}(\R)$?
 


Aufgabe 5.3.24 (Erweiterungsstoff) (Lösung)

Weisen Sie nach, dass die ganzen komplexen Zahlen, auch Gaußsche Zahlen genannt, $$ \Z[i] := \{a+ib\mid a,b\in\Z\} $$ einen Teilring der komplexen Zahlen $\C$ bilden.
 


Aufgabe 5.3.27 (Lösung)

Beweisen Sie, dass $R^{*}$, die Menge der Einheiten in einem Ring $R$ mit Eins, tatsächlich eine Gruppe ist.
 


Aufgabe 5.3.29 (Lösung)

Bestimmen Sie die Einheitengruppen der Ringe $\Z_{n}$ für $n=2,\ldots,6$.
 


Aufgabe 5.3.33 (Lösung)

Bestimmen Sie alle Teiler des Elements $\bar 2$ in $\Z_{n}$ für $n=3,\ldots,6$.
 


Aufgabe 5.3.34 (Lösung)

Seien $a$ und $b$ Elemente eines Ringes $(R,+,\cdot)$, und sei $u\in R^{*}$ eine Einheit. Beweisen Sie, $$ a|b \liff a|ub\quad\text{und}\quad a|b \liff ua|b. $$
 


Aufgabe 5.3.40 (Lösung)

Geben Sie alle Nullteiler in $(\Z_{4},+,\cdot)$ und $(\Z_{6},+,\cdot)$ an. Gibt es auch in $(\Z_{3},+,\cdot)$ oder $(\Z_{5},+,\cdot)$ Nullteiler?
 


Aufgabe 5.3.41 (Lösung)

Für welche $n=2,\dots,6$ ist $(\Z_{n},+,\cdot)$ ein Integritätsbereich?
 


Aufgabe 5.3.42 (Lösung)

Betrachten Sie den Ring $\R[\eps]$ aus Beispiel 5.3.14. Enthält er Nullteiler?
 


Aufgabe 5.3.43 (Lösung)

Weisen Sie nach, dass der Ring der reellen Polynome $(\R[x],+,\cdot)$ ein Integritätsbereich ist.

Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 5.3.15.
 


Aufgabe 5.3.44 (Erweiterungsstoff) (Lösung)

Zeigen Sie, dass $(\Z[i],+,\cdot)$ aus Aufgabe 5.3.24 ein Integritätsbereich ist.
 


Aufgabe 5.3.49 (Lösung)

Finden Sie alle Primelemente der Ringe $\Z_{n}$ für $n=2,\ldots,6$.
 


Aufgabe 5.3.51

Beweisen Sie, dass (5.4) tatsächlich eine Formel für den ggT von $m$ und $n$ ist.
 


Aufgabe 5.3.52 (Lösung)

Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler von $4715460$ und $8187333$.
 


Aufgabe 5.3.58 (Lösung)

Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen aus Aufgabe 5.3.52 mit Hilfe des euklidischen Algorithmus.
 


Aufgabe 5.3.61 (Erweiterungsstoff) (Lösung)

Bestimmen Sie die größten gemeinsamen Teiler von $-41324$ und $32128$ in $\Z$.
 


Aufgabe 5.3.65 (Erweiterungsstoff) (Lösung)

Dividieren Sie jeweils die Polynome $p$ mit Rest durch die Polynome $q$:
  1. $p(x)=x^3-x^2+x-1$, $q(x)=x^2+1$,
  2. $p(x)=x^{5}-1$, $q(x)=x-1$,
  3. $p(x)=x^{5}-3x^{3}+12x+19$, $q(x)=2x^{4}-3x^{2}+11$,
  4. $p(x)=x^{6}+3x^{5}-2x^{4}$, $q(x)=x^{5}+13x+1$,
  5. $p(x)=x^6-9x^5+22x^4-41x^3+17x^2-4x+8$, $q(x)=x^2-2x+5$.
 


Aufgabe 5.3.68 (Erweiterungsstoff)

Führen Sie den Beweis der Proposition 5.3.67 explizit aus.
 


Aufgabe 5.3.69 (Erweiterungsstoff) (Lösung)

Bestimmen Sie den ggT von $-41324$ und $32128$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus. Vergleichen Sie die Rechnung mit Ihrer Lösung von Aufgabe 5.3.61.
 


Aufgabe 5.3.71 (Erweiterungsstoff) (Lösung)

Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler der Polynome \begin{align*} p(x) &= x^{6}+x^{5}+2x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+2x+1\\ q(x) &= -x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}+2x+2. \end{align*}
 


Aufgabe 5.3.73 (Erweiterungsstoff) (Lösung)

Bestimmen Sie den ggT von $19+12i$ und $13-8i$.
 


Aufgabe 5.3.78 (Lösung)

Zeigen Sie, dass die Abbildung $\iota:\R\to\R[\eps]$ mit $\iota(r)=r+0\eps$ ein injektiver Ringhomomorphismus ist.
 


Aufgabe 5.3.79 (Lösung)

Wir betrachten die Ringe $(\Z,+,\cdot)$ und $(\Z_{g},+,\cdot)$ und definieren die Abbildung $\ph:\Z\to\Z_{g}$ durch $$ \ph(z) := \begin{cases} z & \text{falls $z$ gerade ist}\\ z-1 & \text{falls $z$ ungerade ist}. \end{cases} $$ Ist $\ph$ ein Ringhomomorphismus?
 


Aufgabe 5.3.80 (Lösung)

Ist die Quotientenabbildung (siehe Beispiel ) $\ph:\Z\to\Z_{2}$ mit $$ \ph(z) := \begin{cases} \bar 0 & z\in\Z_{g} \\ \bar 1 & \text{sonst} \end{cases} $$ ein Ringhomomorphismus von $\Z$ auf $\Z_{2}$?
 


Aufgabe 5.3.81 (Erweiterungsstoff) (Lösung)

Betrachten Sie die Ringe $\Z[i]$ und $M_{2}(\Z)$ aus den Aufgaben 5.3.23 und 5.3.24 und die Abbildung $\ph:\Z[i]\to M_{2}(\Z)$ mit $$ \ph(a+ib) := \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}. $$ Zeigen Sie, dass $\ph$ ein Ringhomomorphismus ist. Ist $\ph$ eine Einbettung?