Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 5.3
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 5.3 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 5.3.3 (Lösung)
Überprüfen Sie, ob in $(\Z_{4},+,\cdot)$ und $(\Z_{5},+,\cdot)$ die Distributivgesetze gelten. (Achtung, direktes Nachrechnen ist hier nicht zielführend! Suchen Sie nach einer alternativen Beweismöglichkeit.)Aufgabe 5.3.4 (Lösung)
Rechnen Sie nach, dass in $(M_{2}(\R),+,\cdot)$ die Distributivgesetze gelten.Aufgabe 5.3.12 (Lösung)
Bildet $(FP_{2},\oplus,\otimes)$ (siehe Beispiel 5.1.1) einen Ring?Aufgabe 5.3.13 (Lösung)
Betrachten wir die Menge $R=\{0\}$ mit den Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ mit $0+0=0$ und $0\cdot 0=0$. Zeigen Sie, dass $(R,+,\cdot)$ einen kommutativen Ring bildet, den trivialen Ring. Ist der triviale Ring ein Ring mit Einselement? Wie sieht der einfachste Ring mit Einselement aus?Aufgabe 5.3.14 (Lösung)
Sei $\eps$ ein Symbol, das kein Element von $\R$ repräsentiert. Wir betrachten die Menge $\R[\eps]:=\{a+b\eps\mid a,b\in\R\}$ und definieren darauf die beiden Verknüpfungen $\oplus$ und $\odot$ durch \begin{align*} (a+b\eps)\oplus(a'+b'\eps) &:= (a+a')+(b+b')\eps, \\ (a+b\eps)\odot(a'+b'\eps) &:= aa'+(ab'+a'b)\eps. \end{align*} Weisen Sie nach, dass $(\R[\eps],\oplus,\odot)$ ein Ring ist.Aufgabe 5.3.15 (Lösung)
Für die beiden Polynome $p,q\in\R[x]$ \begin{align*} p(x) &= \sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \\ q(x) &= \sum_{j=0}^{m}b_{j}x^{j} \end{align*} bestimmen Sie die Koeffizienten von $p+q$ und $pq$. Danach zeigen Sie nur unter Zuhilfenahme der berechneten Formeln, dass $\R[x]$ ein kommutativer Ring mit Einselement ist.Aufgabe 5.3.17 (Lösung)
Führen Sie den Schritt im obigen Beweisteil (i), dass in einem Ring $(R,+,\cdot)$ tatsächlich $0r=0$ für alle $r\in R$ gilt, explizit aus.Aufgabe 5.3.18 (Lösung)
Machen Sie den Schritt im obigen Beweisteil (ii) explizit, indem sie zeigen, dass in einem Ring $(R,+,\cdot)$ für $r,s\in R$ tatsächlich $-(rs)=r(-s)$ gilt.Aufgabe 5.3.21 (Lösung)
Überprüfen Sie, ob die geraden Zahlen $(\Z_{g},+,\cdot)$ einen Teilring der ganzen Zahlen $(\Z,+,\cdot)$ bilden.Aufgabe 5.3.22 (Lösung)
Betrachten Sie die Teilmenge $S:=\{0, 2, 4\}$ von $(\Z_{6},+,\cdot)$. Bildet $S$ einen Unterring von $\Z_{6}$?Aufgabe 5.3.23 (Lösung)
Wir betrachten die $2\x 2$–Matrizen mit ganzzahligen Einträgen, $(M_{2}(\Z),+,\cdot)$ mit den von $(M_{2}(\R),+,\cdot)$ ererbten Operationen. Ist $M_{2}(\Z)$ ein Unterring von $M_{2}(\R)$?Aufgabe 5.3.24 (Erweiterungsstoff) (Lösung)
Weisen Sie nach, dass die ganzen komplexen Zahlen, auch Gaußsche Zahlen genannt, $$ \Z[i] := \{a+ib\mid a,b\in\Z\} $$ einen Teilring der komplexen Zahlen $\C$ bilden.Aufgabe 5.3.27 (Lösung)
Beweisen Sie, dass $R^{*}$, die Menge der Einheiten in einem Ring $R$ mit Eins, tatsächlich eine Gruppe ist.Aufgabe 5.3.29 (Lösung)
Bestimmen Sie die Einheitengruppen der Ringe $\Z_{n}$ für $n=2,\ldots,6$.Aufgabe 5.3.33 (Lösung)
Bestimmen Sie alle Teiler des Elements $\bar 2$ in $\Z_{n}$ für $n=3,\ldots,6$.Aufgabe 5.3.34 (Lösung)
Seien $a$ und $b$ Elemente eines Ringes $(R,+,\cdot)$, und sei $u\in R^{*}$ eine Einheit. Beweisen Sie, $$ a|b \liff a|ub\quad\text{und}\quad a|b \liff ua|b. $$Aufgabe 5.3.40 (Lösung)
Geben Sie alle Nullteiler in $(\Z_{4},+,\cdot)$ und $(\Z_{6},+,\cdot)$ an. Gibt es auch in $(\Z_{3},+,\cdot)$ oder $(\Z_{5},+,\cdot)$ Nullteiler?Aufgabe 5.3.41 (Lösung)
Für welche $n=2,\dots,6$ ist $(\Z_{n},+,\cdot)$ ein Integritätsbereich?Aufgabe 5.3.42 (Lösung)
Betrachten Sie den Ring $\R[\eps]$ aus Beispiel 5.3.14. Enthält er Nullteiler?Aufgabe 5.3.43 (Lösung)
Weisen Sie nach, dass der Ring der reellen Polynome $(\R[x],+,\cdot)$ ein Integritätsbereich ist.Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 5.3.15.
Aufgabe 5.3.44 (Erweiterungsstoff) (Lösung)
Zeigen Sie, dass $(\Z[i],+,\cdot)$ aus Aufgabe 5.3.24 ein Integritätsbereich ist.Aufgabe 5.3.49 (Lösung)
Finden Sie alle Primelemente der Ringe $\Z_{n}$ für $n=2,\ldots,6$.Aufgabe 5.3.51
Beweisen Sie, dass (5.4) tatsächlich eine Formel für den ggT von $m$ und $n$ ist.Aufgabe 5.3.52 (Lösung)
Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler von $4715460$ und $8187333$.Aufgabe 5.3.58 (Lösung)
Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen aus Aufgabe 5.3.52 mit Hilfe des euklidischen Algorithmus.Aufgabe 5.3.61 (Erweiterungsstoff) (Lösung)
Bestimmen Sie die größten gemeinsamen Teiler von $-41324$ und $32128$ in $\Z$.Aufgabe 5.3.65 (Erweiterungsstoff) (Lösung)
Dividieren Sie jeweils die Polynome $p$ mit Rest durch die Polynome $q$:- $p(x)=x^3-x^2+x-1$, $q(x)=x^2+1$,
- $p(x)=x^{5}-1$, $q(x)=x-1$,
- $p(x)=x^{5}-3x^{3}+12x+19$, $q(x)=2x^{4}-3x^{2}+11$,
- $p(x)=x^{6}+3x^{5}-2x^{4}$, $q(x)=x^{5}+13x+1$,
- $p(x)=x^6-9x^5+22x^4-41x^3+17x^2-4x+8$, $q(x)=x^2-2x+5$.