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Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 5.2
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 5.2 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 5.2.5
(Lösung)
Auf der Menge $\R$ der reellen Zahlen sei die
Verknüpfung $\otimes$ für je zwei Elemente $a$ und $b$ durch
$$
a\otimes b := ab - 4
$$
definiert. Überprüfen Sie, ob die so definierte Verknüpfung assoziativ
ist.
Aufgabe 5.2.6
(Lösung)
Wir definieren auf der Menge $\Q$ der rationalen Zahlen die
Verknüpfung $\odot$ durch
$$
a\odot b := 6a+6b+3ab+10 = 3(a+2)(b+2)-2.
$$
Überprüfen Sie, ob $\odot$ das Assoziativgesetz erfüllt.
Aufgabe 5.2.7
(Lösung)
Gegeben sei die Menge $\Z$ mit der Verknüpfung $\oplus$
$$
a\oplus b := a+b-8.
$$
Überprüfen Sie das Assoziativgesetz.
Aufgabe 5.2.8
(Lösung)
Beweisen Sie, dass $(M_{2}(\R),\cdot)$ eine Halbgruppe ist.
Aufgabe 5.2.12
(Lösung)
Betrachten Sie die Verknüpfung aus Aufgabe 5.2.5 und
überprüfen Sie, ob ein Einselement existiert.
Aufgabe 5.2.13
(Lösung)
Existiert ein Einselement für die Verknüpfung $\odot$ aus
Aufgabe 5.2.6?
Aufgabe 5.2.14
(Lösung)
Gibt es für die Verknüpfung $\oplus$ auf $\Z$ aus
Aufgabe 5.2.7 ein Einselement?
Aufgabe 5.2.15
(Lösung)
Beweisen Sie, dass die Einheitsmatrix und die Nullmatrix jeweils
neutrale Elemente von $(M_{2}(\R),\cdot)$ bzw. $(M_{2}(\R,+))$ sind.
Aufgabe 5.2.22
(Lösung)
Welche der Gruppoide aus den Aufgaben 5.2.5, 5.2.6
und 5.2.7 sind Monoide?
Aufgabe 5.2.23
(Lösung)
Begründen Sie, warum $(M_{2}(\R),+)$ und $(M_{2}(\R),\cdot)$
Monoide sind.
Aufgabe 5.2.27
(Lösung)
Überprüfen Sie, welche der Verknüpfungen aus den
Aufgaben 5.2.5, 5.2.6 und 5.2.7 kommutativ
sind.
Aufgabe 5.2.31
(Lösung)
Überprüfen Sie, für welche der Verknüpfungen aus den
Aufgaben 5.2.5, 5.2.6 und 5.2.7 inverse
Elemente existieren.
Aufgabe 5.2.32
(Lösung)
Beweisen Sie, dass eine $2\x 2$–Matrix
$$A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
$$ genau dann ein inverses Element besitzt, wenn
$$\det(A):=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$$ gilt.
Hinweis: Nehmen Sie an, es gebe eine Inverse
$B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}$ also, dass $AB=I$ gilt. Schreiben Sie die
entstehenden $4$ Gleichungen an und lösen Sie nach $b_1,\dots,
b_4$ auf. Zeigen Sie dann auch noch, dass $BA=I$ gilt. Achtung,
das ist eine etwas langwierige Rechnung.
Aufgabe 5.2.41
(Lösung)
Zeigen Sie, dass $(\Z_{4},+)$ eine Gruppe bildet. Vergleichen Sie
diese vierelementige Gruppe mit der Kleinschen Vierergruppe $V_{4}$.
Hinweis: Betrachten Sie dazu die Verknüpfungstabellen.
Aufgabe 5.2.42
(Lösung)
Beweisen Sie, dass $(\Z_{5}\setminus\{\bar{0}\},\cdot)$ eine Gruppe
bildet. Vergleichen Sie diese Gruppe mit $(\Z_{4},+)$. Was fällt
Ihnen auf?
Aufgabe 5.2.43
(Lösung)
Stellen Sie die Cayley–Tafeln von $(\Z_{6},+)$ und $(\Z_{6},\cdot)$
auf. Welche algebraischen Strukturen liegen vor: Gruppoid,
Halbgruppe, Monoid, Gruppe? Zählen Sie alle zutreffenden auf!
Aufgabe 5.2.44
(Lösung)
Wir betrachten ein Rechteck, das kein Quadrat ist und alle
Abbildungen, die das Rechteck auf sich selbst abbilden.
Zeigen Sie, dass diese Abbildungen eine Gruppe bilden und
stellen Sie die Verknüpfungstabelle auf. Kommt Ihnen die
Gruppe bekannt vor? Was ändert sich im Falle eines Quadrats?
Aufgabe 5.2.50
(Lösung)
Überprüfen Sie, ob die Teilmenge $\{0, 2, 4\}$ von
$(\Z_{6},+)$ eine Untergruppe bildet.
Aufgabe 5.2.51
(Lösung)
Bestimmen Sie alle Untergruppen von $(\Z_{6},+)$.
Aufgabe 5.2.52
(Lösung)
Geben Sie alle Untergruppen der Kleinschen Vierergruppe $V_{4}$
(siehe Beispiel 5.2.40) an.
Aufgabe 5.2.53
(Lösung)
Beweisen Sie, dass $(\Z,+)$ eine Untergruppe von $(\R,+)$
ist. Zeigen Sie weiters, dass $(\Z_{g},+)$ eine Untergruppe von
$(\Z,+)$ ist. Folgt aus diesen beiden Aussagen schon, dass
$(\Z_{g},+)$ eine Untergruppe von $(\R,+)$ ist?
Aufgabe 5.2.54
(Lösung)
Wir definieren die Menge $\operatorname{SL}(2,\R)$ von reellen
$2\x2$–Matrizen, deren Determinante (siehe
Beispiel 5.2.30) gleich $1$ ist, also
$$
\operatorname{SL}(2,\R):=\{A\in M_2(\R):\ \det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=1\}.
$$
Zeigen Sie, dass $(\operatorname{SL}(2,\R),\cdot)$ eine Untergruppe von
$(\operatorname{GL}(2,\R),\cdot)$ ist (siehe dazu Beispiel 5.2.36).
Aufgabe 5.2.55
(Lösung)
Zeigen Sie, dass die Menge aller invertierbaren Abbildungen einer
beliebigen Menge $M$ auf sich selbst eine Gruppe bildet. Ist die
Menge endlich mit $n$ Elementen, dann nennen wir die entstehende
Gruppe die
Permutationsgruppe mit $n$ Elementen und
bezeichnen sie mit $\mathfrak S_n$. Bestimmen Sie die
Cayley–Tafeln von $\mathfrak S_1$, $\mathfrak S_2$ und
$\mathfrak S_4$.
Aufgabe 5.2.56
(Lösung)
Sei $(H,\o)$ eine Untergruppe von $(G,\o)$ und $(K,\o)$ eine
Untergruppe von $(H,\o)$. Beweisen Sie, dass dann $(K,\o)$ eine
Untergruppe von $(G,\o)$ ist. Vergleichen Sie mit
Aufgabe 5.2.53.
Aufgabe 5.2.60
(Lösung)
Betrachten sie alle $16$ möglichen Verknüpfungstabellen für zweielementige
Mengen und zeigen Sie, dass es sich außer bei $\Z_2$ und $(G,\Box)$ aus
Bemerkung 5.2.59 um keine Gruppen handelt.
Übrigens, kommen ihnen einige dieser $16$ Tabellen bekannt vor?
Aufgabe 5.2.63
(Lösung)
Seien $(\Z_{3},+)$ und $(\Z_{6},+)$ gegeben. Geben Sie zwei
Gruppenhomomorphismen $f:\Z_{3}\to\Z_{6}$ an.
Aufgabe 5.2.64
(Lösung)
Betrachten Sie die Menge $G=\{e,a,b\}$ mit der durch die folgende Cayley–Tafel
definierten Verknüpfung:
$$
\begin{array}{c|ccc}
\o\ &\ e\ &\ a\ &\ b \\\hline
e\ & e & a & b \\
a\ & a & b & e \\
b\ & b & e & a
\end{array}
$$
Zeigen Sie, dass $(G,\o)$ isomorph zu $(\Z_{3},+)$ ist.
Aufgabe 5.2.65
(Lösung)
Sei $G$ eine Gruppe. Beweisen Sie, dass die Abbildung $f:G\to\{e\}$
mit $f:g\mapsto e$ in die triviale Gruppe immer ein
Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe 5.2.67 (Erweiterungsstoff)
Es seien $(G,\cdot)$ und $(H,\Box)$ Gruppen. Wir definieren
$\Hom(G,H)$ als die Menge der Gruppenhomomorphismen von $G$
nach $H$. Zeigen Sie, dass für eine abelsche Gruppe $H$ die Menge
$\Hom(G,H)$ mit der Verknüpfung $\o$
$$
(\ph\o\ph')(g) := \ph(g)\Box\ph'(g),\quad\forall g\in G,
$$
eine Gruppe bildet.
Aufgabe 5.2.68 (Erweiterungsstoff)
Zeigen Sie, dass die drei komplexen Lösungen der Gleichung
$x^{3}=1$ eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation
komplexer Zahlen bilden. Wie verhält sich diese Gruppe zur Gruppe
$(\Z_{3},+)$?
Aufgabe 5.2.69 (Erweiterungsstoff)
Zeigen Sie, dass die komplexen Zahlen $c$ mit $|c|=1$ eine Gruppe
bezüglich der Multiplikation komplexer Zahlen bilden. Diese Gruppe
wird übrigens mit $S^{1}$ bezeichnet.
Aufgabe 5.2.70 (Erweiterungsstoff)
Sei $G$ eine beliebige Gruppe und $\widehat G:=\Hom(G,S^{1})$ (siehe
Aufgaben 5.2.69 und 5.2.67). Ist $\widehat G$ immer
kommutativ?
