Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 4.2
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 4.2 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 4.2.4 (Lösung)
Finden Sie zwei weitere Beispiele für Relationen aus dem täglichen Leben.Aufgabe 4.2.7 (Lösung)
Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf der Menge aller Menschen auf Transitivität und Reflexivität:- ist Onkel von,
- wohnt im selben Haus wie,
- ist größer als,
- ist nicht kleiner als.
Aufgabe 4.2.10 (Lösung)
- Auf der Menge $\Z$ der ganzen Zahlen betrachten wir die Relation \[x\equiv y\ :\Leftrightarrow x-y \text{ gerade}.\] Zeigen Sie, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.
- Ersetzen Sie in 1. "gerade" durch "ungerade". Handelt es sich nach wie vor um eine Äquivalenzrelation?
- Finden Sie weitere Beispiele für Äquivalenzrelationen.
- Bei einer Versuchsreihe werden 2 Messergebnisse als gleich betrachtet, wenn sie sich um weniger als $10^{-22}m$ unterscheiden. Definiert dieser Gleichheitsbegriff eine Äquivalenzrelation?
Aufgabe 4.2.13 (Lösung)
Beschreiben Sie für die Äquivalenzrelationen aus Aufgabe 4.2.10 die Äquivalenzklassen.Aufgabe 4.2.19 (Lösung)
Bestimmen Sie für die Äquivalenzrelationen aus Aufgabe 4.2.10 die Partition und die Quotientenmenge.Aufgabe 4.2.23 (Lösung)
Bestimmen Sie die Restklassenmengen $\Z_{3}$, $\Z_{5}$, $\Z_{6}$. Versuchen Sie, analog zu Definition 4.2.22 die Mengen $\Z_{1}$ und $\Z_{0}$ zu definieren. Was passiert in diesen Fällen?Aufgabe 4.2.26 (Lösung)
Wir betrachten die Menge aller Punkte auf einer Kreislinie in der Ebene. Für zwei Punkte $P$ und $Q$ sagen wir, dass $P < Q$ gelte, wenn der Kreisbogen von $P$ nach $Q$ gegen den Uhrzeigersinn kürzer ist als der Kreisbogen von $Q$ nach $P$ gegen den Uhrzeigersinn. Ist die so definierte Relation eine Ordnungsrelation auf den Punkten der Kreislinie?Aufgabe 4.2.27 (Lösung)
Seien die geordneten Mengen $(A,\leq)$ und $(B,\preceq)$ gegeben. Auf $A\x B$ definieren wir die Relation $\unlhd$ durch \begin{equation*} (a,b)\unlhd(a',b'):\liff a < a' \vee (a=a' \wedge b\preceq b'). \end{equation*} Zeigen Sie, dass $\unlhd$ eine Ordnungsrelation auf $A\x B$ definiert, die so genannte lexikographische Ordnung.Aufgabe 4.2.30 (Lösung)
Betrachten wir $\R$ mit der natürlichen Ordnung $\leq$. Geben Sie für die folgenden Teilmengen von $\R$ obere und untere Schranken an, falls diese existieren. Sind die entsprechenden Mengen beschränkt?- $[0,4[$,
- $]a,\infty[$
- $]-3,2]\cup [4,5]$,
- $\N_g$, die Menge der geraden natürlichen Zahlen.
Aufgabe 4.2.31 (Lösung)
Auf der Menge aller Menschen betrachten wir wieder die Ordnungsrelation "ist Vorfahre von". Sei $A$ ein Mensch, der die folgende "Verwandtenmenge" besitzt: $$ V:=\{\text{Vater}, \text{Tochter}, \text{Schwester}\}. $$ Hat $V$ untere und obere Schranken? Wenn ja, geben Sie Beispiele.Aufgabe 4.2.34 (Lösung)
Wir betrachten wieder $\R$ mit der natürlichen Ordnung $\leq$. Sind die folgenden Teilmengen von $\R$ nach oben bzw. nach unten beschränkt?Wenn ja, geben Sie Infimum bzw. Supremum an. Handelt es sich dabei jeweils um Minima resp. Maxima?
- $[-4,18]$,
- $]-3,-2[$,
- $[-3,2[$,
- $]-3,-2[\ \cup\ [4,\infty[$,
- $]-\infty,4]\ \cap\ ]1,\infty[$,
- $\bigcup_{n\in\N}\ ]-n,n[$,
- $\emptyset$,
- $\N_g$, die geraden natürlichen Zahlen.