Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 3.3
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 3.3 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 3.3.4 (Lösung)
Seien $p$, $q$, $r$ und $s$ beliebige Aussagen. Zeigen Sie, dass die folgenden Argumente gültig sind.- $\neg(p\limplies q)$ impliziert $p$.
- Aus $p\limplies q$ und $p\limplies\neg q$ folgt $\neg p$.
- Wegen $p\limplies q$ gilt $(p\wedge r)\limplies(q\wedge r)$.
- $(p\wedge q)\liff r$ folgt aus $p\wedge(q\liff r)$.
- Die Tatsache, dass $p\limplies(q\wedge r)$, hat als Konsequenz $(p\wedge q)\liff(p\wedge r)$.
- $(p\liff r)\wedge(q\liff s)$ und daher $(p\vee q)\liff(r\vee s)$.
- Aus $\forall x:(P(x)\limplies Q(x))$ und $\forall x:P(x)$ folgt $\forall x:Q(x)$.
Aufgabe 3.3.5 (Lösung)
Seien $p$, $q$, $r$ und $s$ beliebige Aussagen. Zeigen Sie, dass die folgenden Argumente gültig sind.- $p\liff q$ gilt genau dann, wenn $p\limplies q$ und $\neg p\limplies\neg q$.
- $p\limplies(r\wedge s)$ ist äquivalent zu $(p\limplies r)\wedge(p\limplies s)$.
- $p\limplies(r\vee s)$ ist notwendig und hinreichend für $(p\wedge\neg r)\limplies s$.
- $(r\vee s)\limplies q$ ist gleichbedeutend mit $(r\limplies q)\wedge(s\limplies q)$.
- Aus $(r\wedge s)\limplies q$ folgt $(r\limplies q)\vee(s\limplies q)$ und umgekehrt.
- $(r\wedge s)\limplies q$ dann und nur dann, wenn $r\limplies(s\limplies q)$.