Einführung in das mathematische Arbeiten

Aufgabe 3.1.5 (Lösung)

Wir bezeichnen mit $a$, $b$ und $c$ beliebige binäre Variable. Sind die folgenden Gleichungen richtig?

1. $\neg (a \wedge (\neg a)) = 1$,
2. $(\neg a\wedge (b\vee a))\wedge c = (b\wedge c)\vee a$,
3. $\neg (a\wedge((\neg b\wedge \neg a\wedge v)\vee(\neg a\wedge\neg b\wedge\neg c))) = 1$.

Hinweis: Ein Lösungsweg besteht darin, die Schaltwerttabellen für beide Seiten der Gleichung aufzustellen und diese zu vergleichen.

Aufgabe 3.1.7 (Lösung)

Gegeben ist die unten stehende Schaltwerttabelle. Bestimmen Sie die disjunktive und die konjunktive Normalform der Schaltung. $$ \begin{array}{c|c|c||c} \ a\ &\ b\ &\ c\ &\ f(a,b,c) \\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $$

Aufgabe 3.1.8 (Lösung)

Überprüfen Sie die drei Gleichungen aus Aufgabe 3.1.5 erneut, indem Sie die Normalformen der rechten und linken Seiten vergleichen.

Aufgabe 3.1.9 (Lösung)

Überprüfen Sie die drei Gleichungen aus Aufgabe 3.1.5 erneut, indem Sie die Normalformen der rechten und linken Seiten vergleichen.

Aufgabe 3.1.11 (Lösung)

Beweisen Sie die übrigen Aussagen in Theorem 3.1.10.

Aufgabe 3.1.14 (Lösung)

Führen Sie die eben angesprochene Kontrolle der Rechnung aus Beispiel 3.1.13 mittels Aufstellen der Schaltwerttabelle durch.

Aufgabe 3.1.15 (Lösung)

Überprüfen Sie die drei Gleichungen aus Aufgabe 3.1.5 erneut. Formen Sie die jeweils linken Seiten mittels der Rechenregeln aus Theorem 3.1.10 um, bis Sie auf der rechten Seite "anlangen".

Aufgabe 3.1.17 (Lösung)

Bestimmen Sie die disjunktive Normalform der Implikation $a\Rightarrow b$ und vereinfachen Sie diese zur konjunktiven Normalform $\neg a\vee b$. Begründen Sie jeden Umformungsschritt (mit einer der Rechenregeln aus Theorem 3.1.10).