Wenn eine Abbildung $f:A\to B$ gegeben ist und $C\subseteq A$ eine Teilmenge des Definitionsbereiches ist, dann können wir unseren Blick einschränken auf die Teilmenge $C$ und uns vorstellen, die Abbildung $f$ gehe nur von der Menge $C$ aus. Da jedes Element $x\in C$ auch ein Element von $A$ ist, ist $f(x)$ in natürlicher Weise definiert. Nun haben wir aber festgelegt, dass zu einer Abbildung immer Definitions- und Bildbereich dazugehören. Wenn wir also $f$ nur auf der Menge $C$ betrachten wollen, müssen wir eine neue Abbildung definieren, die als Definitionsbereich die Menge $C$ anstelle der Menge $A$ besitzt. Ihre Werte auf $C$ sollen natürlich mit den Werten von $f$ übereinstimmen.
Definition 4.3.16A (Einschränkung einer Abbildung) Seien eine Abbildung $f:A\to B$ und $C\subseteq A$ gegeben. Die Einschränkung $f|_C$ von $f$ auf $C$ ist die Abbildung $f|_{C}:C\to B$ mit dem Graphen $$ G(f|_C) := \{(a,f(a))\mid a\in C\} \subseteq G(f). $$
Wegen Definition 4.3.4 müssen wir den Graphen von $f|_C$ angeben, und in diesen nehmen wir all jene Paare $(a,f(a))\in G(f)$ auf, deren erste Komponente in $C$ liegt. Bei der Definition von $f|_C$ haben wir also nichts weiter getan, als die Werte von $f$ auf $A\setminus C$ zu vergessen.
Bemerkung 4.3.16B (Erweiterung einer Abbildung)
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Wenn wir eine Abbildung $f:A\to B$ gegeben haben und eine Obermenge $D\supseteq A$
des Definitionsbereiches betrachten, dann heißt jede Abbildung $g:D\to B$, die
$f=g|_A$ erfüllt eine Erweiterung von $f$ auf $D$. Erweiterungen von
Abbildungen sind im Gegensatz zu Einschränkungen nicht eindeutig.
Erweiterungen werden in der Mathematik fast immer zusammen mit zusätzlichen Eigenschaften betrachtet. So gibt es etwa Sätze über die Existenz oder Nicht-Existenz differenzierbarer, stetiger oder beschränkter Erweiterungen von Funktionen in verschiedenen Gebieten der Mathematik. -
Umgekehrt ist es auch manchmal interessant, den Zielbereich einer Abbildung $f:A\to B$
zu verändern. Es ist offensichtlich möglich, $f$ auf jedem Zielbereich zu betrachten,
der ihren Wertebereich $f(A)$ enthält. Am häufigsten wird der Zielbereich von $f$ auf
diesen Wertebereich eingeschränkt. Der Graph $G(f)$ verändert sich als Menge durch diese
Veränderung nicht. Einzig die Menge, als deren Teilmenge $G(f)$ betrachtet wird,
verändert sich.
Klarerweise ändert sich die Funktion, wenn wir ihren Zielbereich austauschen. In der Mathematik hat sich trotzdem keine Bezeichnung für diese Änderung etabliert. Im Rahmen von mathematischen Texten werden für diesen Vorgang meist Sätze wie: "`Wenn wir die Funktion $f$ auf ihren Wertebereich einschränken\ldots"' formuliert, und die Bezeichnung $f$ für diese neue Funktion weiterverwendet.