Pflichtfach im Bachelorstudium Mathematik, Modul TFA, empfohlen für das 5. Semester, ein Besuch sollte auch im 3. Semester möglich sein.

Aus den Grundvorlesungen über Analysis sind die fundamentalen Konzepte von Konvergenz und Stetigkeit zumindest für (Teilmengen von) Rⁿ bekannt und auch metrische Räume wurden zumindest erwähnt. Es stellt sich heraus, dass die Begriffe von Konvergenz und Stetigkeit in einem sehr allgemeinen Rahmen Sinn machen, nämlich für sogenannte topologische Räume. In mehr oder weniger allgemeiner Form werden diese Begriffe dann in den meisten Teilgebieten der Mathematik angewandt. Als Hintergrund für die Vorlesung werden hauptsächlich die ersten beiden Semester der Grundvorlesung über Analysis und teilweise die Grundvorlesung über lineare Algebra benötigt.

Inhalt:

• Konvergenz und Stetigkeit in Rⁿ, topologische Konzepte und Resultate der Analysis
• Topologische Räume: Grundlegende Definitionen, Basen und Subbasen, Stetigkeit von Funktionen, Netze und Konvergenz
• Konstruktion von Topologien: Spurtopologie, initiale Topologien und Produkttopologie, finale Topologien
• Kompaktheit, die Sätze von Urysohn, Tietze, Tychonov, und Heine-Borel, zu Kompaktheit verwandte Begriffe, Zusammenhang
• Metrische Räume: Vollständigkeit und Vervollständigung, der Satz von Baire

Es wird zu dieser Vorlesung ein Skriptum geben, das rechtzeitig über meine Skriptenseite http://www.mat.univie.ac.at/~cap/lectnotes.html verfügbar sein wird. Die Version aus dem WS 2007/08 die derzeit dort online ist, wird vor Beginn der Vorlesung noch überarbeitet werden. Das Skriptum soll aber nur eine Hilfestellung sein und kann keinesfalls den Besuch der Vorlesung ersetzen.

Pflichtveranstaltung im Bachelorstudium Mathematik (Modul TFA) empfohlen im 5. Semester, ein Besuch sollte auch im 3. Semester möglich sein. Online Anmeldung erforderlich.

In den Übungen wird die Anwendung der in der Vorlesung erlernten Begriffe und Methoden anhand von konkreten Beispielen und einfachen Beweisen (mit Anleitungen) geübt. Nicht zuletzt sind die Übungen auch der beste Platz, um Unklarheiten zu bereinigen und Fragen zur Vorlesung zu diskutieren. Die Standards für Abhaltung und Bewertung der Übungen sind für alle Gruppen einheitlich und finden sich im Vorlesungsverzeichnis. Die Abwicklung der Kreuzerllisten wird über Moodle erfolgen, mit der Anmeldung zur Lehrveranstaltung werden Sie automatisch auch in die entsprechende Moodle-Gruppe aufgenommen.

Obligatory course in the core module "Lie groups" for the area of specialization "Geometry and Topology" of the master program. For the other areas, the course can be used as an elective.

The idea of symmetries is among the most fundamental concepts in mathematics. Symmetries always form groups and this is one of the main sources for examples of groups. Considering symmetries of objects having some additional structure, this structure carries over to the group of symmetries in important cases. For symmetries of geometric objects, one often ends up with a symmetry group that itself is a smooth manifold such that the group operations are smooth maps and thus a Lie group. In particular as symmetry groups, Lie groups play an important role not only in differential geometry but in large parts of mathematics and theoretical physics.

The fundamental fact for the theory of Lie groups is that a large part of the (rather involved) structure of a Lie group is reflected in the Lie Algebra of the group. This Lie algebra is a much simpler object, a finite dimensional vector spaces that is endowed with a bilinear operation. The study of the relations between a Lie group and its Lie algebra forms the core of the course.

Via the concept of homogeneous spaces, Lie groups lead to a large number of surprising examples of smooth manifolds, on which a Lie group acts by symmetries. The second major topic of the course is the theory of compact Lie groups and their representations.

Contents: Lie groups and their Lie algebras; Lie subgroups and homogeneous spaces; Frobenius' theorem and existence results; compact Lie groups and their representations, maximal tori, the Peter-Weyl theorem.

Successful completion of the course "Analysis on manifolds" is assumed as a background for this course, but a good background on submanifolds in Euclidean spaces should also be sufficient.

Lecture notes for the course will be available in time via my web page http://www.mat.univie.ac.at/~cap/lectnotes.html. The version 2015/16 that is currently only there may be reworked a bit before the start of the course.

Elective in the master program, one of the possible proseminars that can be used for the module "Seminars in Geometry and Topology".

This is the proseminar that accompanies the lecture course on Lie groups. According to the preferences of the participants, the proseminar can be either completed by solving exercises and presenting the solutions of by presenting a longer seminar-talk.