Die Vorlesung "Einführung in die Mathematik" ist das zentrale Element im ersten Semester des Bachelorstudiums für das Unterrichtsfach "Mathematik". Die Inhalte der Vorlesung bilden den Prüfungsstoff für die Modulprüfung des mathematischen StEOP-Moduls und die Grundlage für das Gesamte Studium. Die Vorlesung wird heuer in zwei Gruppen angeboten, eine am Vormittag, eine gegen Abend. Um eine gleichmäßige Aufteilung der Studierenden auf die beiden Gruppen zu erreichen, führen wir eine elektronische Anmeldung durch. Es werden aber jedenfalls alle Studierenden aufgenommen werden, es ist also nicht nötig, Punkte zu setzen. Ich werde die Gruppe am Vormittag halten, die Abendvorlesungen hält Günther Hörmann.

Die Mathematik, die an der Universität unterrichtet wird, unterscheidet sich stark von der Mathematik wie man sie aus der Schule kennt. Anstelle von "Rechenbeispielen" stehen Beweise im Mittelpunkt der Inhalte. Das erfordert von den Studierenden einen Perspektivenwechsel, den zu erleichtern die erste Aufgabe dieser Vorlesung ist. Daher stehen am Anfang grundlegende Fragen zur Methodik und Vorgehensweise der Mathematik und zu den sich daraus ergebenden Anforderungen an Exaktheit und sprachliche Präzision. Nach diesen einführenden Themen werden wir uns mit Aussagenlogik, Mengenlehre und grundlegenden Resultaten über Zahlbereiche und algebraisch Strukturen beschäftigen, die in (fast) allen Bereichen der Mathematik die Grundlage bilden.

Zu der Vorlesung gibt es eine sehr gut ausgearbeitete schriftliche Unterlage, das Buch "Einführung in das mathematische Arbeiten" (2. Auflage, Springer, 2012) von H. Schichl und R. Steinbauer. Wir werden Kapitel 2-4 des Buches genau besprechen, sowie Teile der Kapitel 5 und 6 behandeln. Für diese Teile werden rechtzeitig weitere Unterlagen über meine Seite http://www.mat.univie.ac.at/~cap/lectnotes.html zur Verfügung gestellt werden.

Wichtig: Den Besuch der Vorlesung durch eine reine Lektüre des Buches zu ersetzen ist ein schwieriges Unterfangen, die Aufbereitung des Materials spielt eine wichtige Rolle. Außerdem kann man in der Vorlesung vieles sagen, was man in dieser Form nicht in ein Buch schreiben würde. Ebenso kann der "Konsum" der Vorlesung eine aktive Auseinandersetzung mit den Inhalten nicht ersetzen ("Mathematik ist kein Zuschauersport"). Im Curriculum sind zwar keine Übungen zu der Vorlesung vorgeschrieben, es werden aber eine freiwillige prüfungsvorbereitende Übung angeboten. Ich kann Ihnen nur dringendst empfehlen, diese Übungen zu besuchen und die Beispiele selbständig zu bearbeiten. Erst dann wird Ihnen klar werden, ob Sie die Inhalte der Vorlesung "verdaut" haben oder noch weiter daran arbeiten sollten.

Topics course for the master program associated to the areas of specialization "Algebra, number theory and discrete mathematics" and "Geometry and Topology". Starting from fall term 2016/17, all courses of the master program will be held in English.

The idea of symmetry is among the absolute fundamentals of mathematics. In many cases, groups of symmetries can be naturally made into Lie groups, thus allowing the application of analytical methods. To any Lie group, one associates its Lie algebra, which is just a finite dimensional vector space endowed with a bilinear operation with certain properties. It turns out that Lie algebras can be studied very effictively using methods from linear algebra, so they are much simpler objects than Lie groups. Still, it turns out that a lot of information about a Lie group is encoded in its Lie algebra.

The course deals with the fundamental general theory of Lie algebras and with the structure theory and the basics of representation theory of complex semisimple Lie algebras. If time permits, I will also discuss relations to the representation theory of finite groups and in particular the permutation groups. Lie groups and their relation to Lie algebra will not be needed for the course, although basic knowledge about them will be helpful for motivation. Therefore, I will briefly discuss that part of the background in the beginning of the course.

As a background to follow the course only basics of analysis and detailed knowledge of linear algebra are needed. Background on Lie groups, representation theory of groups, or from differential geometry can be helpful, but certainly is not needed formally.

Lecture notes (in English) for the course will be available in due time online via http://www.mat.univie.ac.at/~cap/lectnotes.html. The version which is currently online will probably be slightly reworked before the start of the course.

There are many applications of algebraic topology to fields like differential geometry or complex analysis. Most of them are based on the fact that invariants, which are defined in algebraic topolgy for a very general class of spaces, can be computed in an entirely differnt way in more restrictive circumstances. A typical example is that the exterior derivative on differential forms on a smooth manifold gives rise to de-Rham cohomology which turns out to coincide with cohomology in the sense of algebraic topology with real coefficients. Likewise, on complex manifolds, one can use Dolbeault cohomology as a general tool to compute invariants.

A conceptual way to understand results of that type is to introduce the general concept of sheaf cohomolgy and prove that this cohomology can be computed in many different ways. The concept of sheaves used in this theory turns out to be useful as a fundamental ingredient for several areas of mathematics. Sheaves are particularly useful to encode the difference between local and global data.

In the seminar we will devlop the basic material on sheaves and sheaf cohomolgy, in particular the computation of this cohomolgy via resolutions and via Czech-cohomology. Apart from these core topics, the contents can be adapted to the interests of the participants in the seminar, say in the direction of application to complex analysis or to algebraic geometry.

Participants are expected to present a talk of about 90 minutes and actively take part in the discussions of the presentations of other participants. For the core topics, lecture notes (in German) will be availableonline via http://www.mat.univie.ac.at/~cap/lectnotes.html. For other topics I will assist participants in finding appropriate literature.