Das ist der letzte Teil des Volresungszyklus über lineare Algebra und Geometrie, der im Wintersemester 2014/15 begonnen hat. Die Vorlesung schließt unmittelbar an die Vorlesung "Lineare Algebra und Geometrie 1" aus dem Sommersemester 2015 an und ist eine Pflichtveranstaltung im dritten Semester des Bachelorstudiums Mathematik im Modul LAG. Die Zeitplanung ist so gewählt, dass die Vorlesung mit der ersten Einheit nach den Weihnachtsferien (also am 11. Jänner 2016) enden wird. Der Stoff dieser letzten Einheit wird für den ersten Prüfungstermin nicht mehr relevant sein, sodass ein solcher Termin unmittelbar nach den Weihnachtsferien möglich ist. Nach den neuen Curriculum ist zu dieser Vorlesung keine Übung mehr vorgesehen, ich werde aber für interessierte StudentInnen Beispiele zur Verfügung stellen.

Inhaltlich zerfällt die Vorlesung in zwei Schwerpunkte. Im ersten Teil werden wir uns mit Normalformen beschäftigen, also versuchen, für eine lineare Abbildung auf einem Vektorraum über einem beliebigen Körper eine möglichst schöne Matrixdarstellung zu finden. Der Schlüssel dazu ist eine Verbindung zwischen der Theorie der Polynome und Fragen über lineare Abbildungen.

In der zweiten Hälfte des Semesters werden wir uns dann mit mulitlineare Algebra beschäftigen. Aufbauend auf dem grundlagenden Begriff des Tensorprodukts von Vektorrämen werden wir und auch mit der äußeren Algebra eines Vektorraumes beschäftigen, die eine wichtige Rolle in der Analysis spielt.

Auch zu dieser Vorlesung wird es wieder ein Skriptum geben, das rechtzeitig über meine Skriptenseite http://www.mat.univie.ac.at/~cap/lectnotes.html verfügbar sein wird. Dort wird vor Beginn des Semesters auch die überarbeitete Version des Skriptums für die ersten beiden Teile des Zyklus verfügbar sein, die allen nötigen Hintergrund enthält. Das Skriptum soll aber nur eine Hilfestellung sein und kann keinesfalls den Besuch der Vorlesung ersetzen.

Pflichtvorlesung für den Studienschwerpunkt "Geometrie und Topologie" des Masterstudiums, im Modul "Mathematische Verbreiterung" für Studierende in anderen Schwerpunkten verwendbar.

Die Betrachtung von Symmetrien gehört wohl zu den grundlegendsten Ideen der Mathematik. Solche Symmetrien bilden Gruppen und stellen eine der wichtigsten Quellen für Beispiele von Gruppen dar. Betrachtet man Symmetrien von Objekten mit einer zusätzlichen Struktur, dann übertägt sich in manchen Fällen diese Struktur auf die Symmetriegruppe. Im Fall von Symmetrien geometrischer Objekte wird die Symmetriegruppe selbst eine glatte Mannigfaltigkeit und die Gruppenoperationen sind glatte Abbildungen. So ein Objekt nennt man eine Lie Gruppe. Lie Gruppen als Symmetriegruppen spielen aber nicht nur in der Differntialgeometrie sondern in grossen Teilen der Mathematik und der theoretischen Physik eine sehr wichtige Rolle.

Ein Grundpfeiler der Theorie der Lie Gruppen ist, dass ein Großteil der (relativ komplizierten) Sturktur einer Lie Gruppe in ihrere Lie Algebra kodiert ist. Diese Lie Algebra ist ein viel einfacheres Objekt, nämlich ein endlichdimensionaler Vektorraum mit einer bilinearen Operation. Das Studium der Vebindung zwischen Lie Gruppen und Lie Algebren wird den Grundstock der Vorlesung bilden.

Über den Begriff des homogenen Raumes führen Lie Gruppen zu einer Fülle von überraschenden Beispielen von glatten Mannigfaltigkeiten, auf denen eine Lie Gruppe durch Symmetrien wirkt.Den zweiten Schwerpunkt der Vorlesung wird die Theorie der kompakten Lie Gruppen und ihrer Darstellungen bilden.

Inhalt: Lie Gruppen und ihre Lie Algebren; Lie Untergruppen und homogene Räume; der Satz von Frobenius und einige Existenzresultate; kompakte Lie Gruppen und ihre Darstellungen.

Als Hintergrund zum Verständnis der Vorlesung genügt eine Vorlesung "Analysis auf Mannigfaltigkeiten", gute Kenntnisse der Grundvorlesungen (vor allem lineare Algebra), sowie Grundkenntnisse aus Algebra (Gruppentheorie).

Zur Vorlesung wird es ein Skriptum in englischer Sprache geben, eine aktualisierte Version wird rechtzeitig unter http://www.mat.univie.ac.at/~cap/lectnotes.html zur Verfügung stehen.

On demand this course is taught in English.

Im Proseminar sollen die Begriffe der Vorlesung vertieft und Ihre proaktische Verwendung geübt werden. Je nach Wunsch der TeilnehmerInnen kann das in Form von Übungsbeispielen oder eher Seminar-artig in Form von Vorträgen erfolgen.

Ich leite zwei der Übungsgruppen zur Vorlesung von J. Humenberger. Die Anmeldung zu den Übungen erfolgt über UNIVIS, die Lehrveranstaltung wird organisatorisch über Moodle abgewickelt. Bei diesen Übungen gibt es für alle Gruppen einheitliche Spielregeln. Weiteren Informationen finden sich im Vorlesungsverzeichnis.

Zum Großteil wird das kein Seminar im üblichen Sinn (also mit durchgehendem Thema) sein. Für Studierende, die ein Seminar aus dem Schwerpunkt Geometrie und Topologie absolvieren m&oum;chten, wird es die M&oum;glichkeit geben, das Seminar wie üblich mit Bearbeitung eines Projetks und Vortrag zu absolvieren.
Ansonsten werden in dem Seminar Vorträge von Mitglieder und Gästen der Arbeitsgruppe Differentialgeometrie zu verschiedenen Tehmen gehalten werden.
Large parts of this course will be held in English