Pflichtvorlesung in der Standardausbilung des Studienschwerpunkts "Geometrie und Topologie" des Masterstudiums, in den Modulen "Mathematische Verbreiterung" und "Mathematisches Wahlfach" für Studierende in anderen Schwerpunkten verwendbar.

In der algebraischen Topologie ordnet man topologischen Räumen algebraische Invarianten (Zahlen, Gruppen, etc.) zu. Dies hilft einerseits zu erkennen, dass Räume topologisch verschieden sind, es zeigt aber auch, wie sich topologsiche Unterschiede "praktisch" auswirken. Im ersten Teil der Vorlesung werden wir Teile der Homotopietheorie besprechen. Hier sind die grundlegenden Konzepte einfach verständlich und geometrisch anschaulich ("Gummigeometrie"), die resultierenden Invarianten sind aber oft sehr schwierig zu berechnen (auch für ganz einfache Räume wie etwa Sphären). Im zweiten Teil der Vorlesung wenden wir uns der (singulären) Homologietheorie zu. Hier sind die Grundkonzepte algebraisch viel anspruchsvoller, dafür erhält man Invarianten, die relativ einfach berechenbar sind. Mit Hilfe der Homologietheorie werden wir je nach verfügbarer Zeit auch einige klassische Sätz, wie den Brouwer'schen Fixpunktsatz, die Sätze von der Invarianz der Dimension und der Domäne, und Verallgemeinerungen des Jordan'schen Kurvensatzes beweisen.

Ich werde mein Skriptum aus dem Wintersemester 2004 online über meine Skriptenseite http://www.mat.univie.ac.at/~cap/lectnotes.html zur Verfügung stellen, die Vorlesung wird dem Skriptum aber nicht genau folgen. In jedem Fall soll das Skriptum nur eine Hilfestellung sein und kann keinesfalls den Besuch der Vorlesung ersetzen. Weitere Literatur wird in der Vorlesung besprochen.

On demand this course is taught in English.

Im Proseminar sollen die Begriffe der Vorlesung vertieft und Ihre praktische Verwendung geübt werden. Je nach Wunsch der TeilnehmerInnen kann das in Form von Übungsbeispielen oder eher Seminar-artig in Form von Vorträgen erfolgen, wobei ich die zweitere Variante bevorzugen würde.

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Vertiefungslehrveranstlatung im Studienschwerpunkt "Geometrie und Topologie" des Masterstudiums, in den Modulen "Mathematische Verbreiterung" und "Mathematisches Wahlfach" für Studierende in anderen Schwerpunkten verwendbar.

Diese Vorlesung ist an der Schnittstelle zwischen klassischer Geometrie und Differentialgeometrie angesiedelt. Seit Felix Klein's Erlanger Programm werden klassische Geometrien (Euklidische, affine, projektive, usw.) durch tansitive Wirkungen von Lie Gruppen beschrieben. In moderner Sprache ausgedrückt interessiert man sich für Objekte auf einem homogenene Raum G/H, die invariant unter der Wirkung der Gruppe G sind.

Ziel der Vorlesung ist zu zeigen, wie man die Bestimmung G-invarianter geometrischer Objekte auf (endlichdimensionale) Probleme der linearen Algebra zurückführen kann. Auf dem Weg zu diesen Resultaten werde ich einen beträchtlichen Teil des Begriffsapparats der modernen Differentialgeometrie entwickeln. Insbesondere werden verschieden Arten von Faserbündeln (Vektorbündel, Hauptfaserbündel, assoziierte Bündel) und von Konnexionen (lineare Konnexionen, Hauptfaserbündelkonnexionen, induzierte Konnexionen) besprochen. Je nach verbleibender Zeit werde ich am Ende der Vorlesung noch kurz über Cartan Geometrien sprechen, die die Verbindung von der Geometrie homogener Räume zu geometrischen Strukturen im Sinne der Differentialgeometrie darstellen.

Zum Verständnis der Vorlesung sind Kenntnisse über Analysis auf Mannigflatigkeiten, sowie über Lie Gruppen (vor allem die Korrespondenz zwischen Lie Gruppen und Lie Algebren) und homogene Räume erforderlich.

Schriftliche Unterlagen zu dieser Vorlesung werden rechtzeitig über meine Skriptenseite http://www.mat.univie.ac.at/~cap/lectnotes.html zur verfügbar sein.

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