Sommersemester 2018, LVN: 250054
Vorbesprechung: Freitag, 9. März 2018, 13:15–14:45, Seminarraum 12
| Vorträge am Freitag, dem 25. Mai 2018 | |||
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| Uhrzeit | VortragendeR | Vortragstitel und Abstract | BetreuerIn |
| 13:15–13:45 | J. P. |
Titel: Mathematik und Origami – Konstruktionen mittels Papierfaltung
Abstract: Die vorliegende Bachelorarbeit beschäftigt sich mit der Axiomatik des Origami. Zu Beginn wird die japanische Faltkunst und deren Zusammenhang mit der Mathematik näher gebracht und anschließend die einzelnen Axiome vorgestellt und geometrisch interpretiert. Es folgt eine Vorstellung der Thalischen Konstruktionen und eine Behandlung des Problems der Winkeldreiteilung, dessen Konstruktion nicht mittels Zirkel und Lineal, jedoch mit der Faltkunst gelöst und mathematisch beweisen werden kann. |
Joachim Mahnkopf |
| 13:55–14:25 | A. H. |
Titel: Partialbruchzerlegung
Abstract: Die Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen dient dazu, diese als Summanden einfacher rationaler Funktionen zu schreiben. Rationale oder gebrochen rationale Funktionen sind Quotienten, deren Zähler und Nenner Polynome sind. Man kann nun eine echt gebrochen rationale Funktion und eine unecht gebrochen rationale Funktion unterscheiden. Eine rationale Funktion heißt echt gebrochen, wenn der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist, andernfalls nennt man sie unecht gebrochen. Durch Division kann man jede unecht gebrochen rationale Funktion auf die Form “Polynom + echt gebrochen rationale Funktion“ bringen. Aufgrund einiger wichtiger Sätze, wie zum Beispiel aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra, welcher besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom mindestens eine Nullstelle in C besitzt, kann die Partialbruchzerlegung ohne Probleme formuliert und bewiesen werden. Sie kann als Umkehrung der Addition zweier Brüche angesehen werden. Die Zerlegung rationaler Funktionen ist elementar durchführbar und in dem einen oder anderen Zusammenhang leichter weiterzuverarbeiten als ihre ursprüngliche Form. Anwendung findet sie beispielsweise bei der Integration rationaler Funktionen. Aufgrund der Partialbruchzerlegung genügt es, die Stammfunktionen von nur wenigen einfachen rationalen Funktionen zu kennen. Nach der Bearbeitung dieses Themas komme ich zu dem Schluss, dass diese Zerlegung tatsächlich eine Vereinfachung der ursprünglichen rationalen Funktion ist. Zu Beginn erscheint die Partialbruchzerlegung als sehr komplex, jedoch nachdem man sich damit beschäftigt und das Schema durchschaut hat, erkennt man, dass die Zerlegung eigentlich sehr einfach aufzustellen ist. Natürlich ist vorausgesetzt, dass man sich der Partialbruchzerlegung widmet, einige Beispiele rechnet und alle möglichen Fälle dieser Zerlegung durcharbeitet. Die Partialbruchzerlegung erleichtert das Arbeiten mit rationalen Funktionen und besonders das Integrieren dieser Funktionen. |
Peter Raith |
| 14:35–15:05 | F. Ö. |
Titel: Archimedes und die Volumsberechnung einer Kugel
Abstract: Mit dieser Arbeit möchte ich mich mit der Volumsberechnung einer Kugel durch Archimedes beschäftigen. Einleitend dazu, werde ich mich zunächst auf das Leben und Wirken des Archimedes von Syrakus eingehen, woher er seinen Ruf hat, wie er gestorben ist. Dabei werde ich mich auch auf seine vielfältigen Schriften konzentrieren, da er nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den Bereichen der Physik, der Technik und dem Schiffsbau maßgebliche Innovationen vorangetrieben hatte. Wobei hier durchaus mein Schwerpunkt im mathematischen Bereich anzusiedeln ist. Konkret werde ich mich mit der Frage beschäftigen, wie Archimedes auf das Volumen einer Kugel gelangte und welche Methoden er dazu verwendete. Hierzu werde ich zunächst beginnen wie Archimedes als erster Mathematiker der Antike überhaupt, versuchte mathematisch korrekt die Zahl π zu ermitteln. Im Anschluss daran werde ich micht dann schon mit meiner Forschungsfrage beschäftigen in der ich die wichtigsten Beweise des Archimedes, wie er auf das Volumen der Kugel gekommen ist, nachvollziehen. Im Zuge dieser Beweise muss ich als erstes mit dem Beweis über die Oberfläche einer Kugel beginnen und schließe von der Oberfläche zum Volumen. Archimedes behalf sich dabei mit dem Vergleich der Kugel mit geometrischen Figuren und Körpern deren Volumina bereits zu seiner Zeit bekannt und bewiesen waren. |
Hendrik Bruin |
| 15:15–15:45 | M. B. |
Titel: Die t-Verteilung
Abstract: Empirische Daten möglichst genau analysieren und daraus Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit schließen zu können ist ein zentrales Thema der Statistik. Wahrscheinlichkeitsverteilungen und im speziellen die t-Verteilung spielen hierbei eine bedeutende Rolle. In der folgenden Präsentation möchte ich zu Beginn eine präzise Definition dieser Verteilung erarbeiten und auf einige Eigenschaften ebendieser eingehen. Den Großteil meines Vortrags wird die in der Definition der t-Verteilung verlangte Unabhängigkeit der beiden Zufallsvariablen Z und X ausmachen. Hierbei wird zunächst die stochastische Unabhängigkeit des Stichprobenmittelwertes und der Stichprobenvarianz gezeigt. Im Zuge dieses Beweises wird außerdem ein Verfahren zur orthogonalen Transformation linear unabhängiger Vektoren eingeführt, das Gram-Schmidt-Verfahren. |
Gernot Greschonig |
| 15:55–16:25 | M. M. |
Titel: Zentraler Grenzwertsatz
Abstract: Die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung ist eine der grundlegenden Techniken auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, um aufwändige Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten zu umgehen und dennoch aussagekräftige Werte zu erhalten. Die Verwendung dieser Technik rechtfertigt der Zentrale Grenzwertsatz, der im Groben besagt, dass die Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsvariable für Stichproben großen Umfangs gegen die einer N(0, 1)-Funktion konvergiert. In dieser Arbeit wird der historisch erste und aus heutiger Sicht elementarste Fall des Zentralen Grenzwertsatzes mit p = 1/2 nachgerechnet und bewiesen und es werden alle Abschätzungen gewissenhaft durchgeführt. |
Michael Eichmair |
| 16:35–17:05 | -- |
Titel: --
Abstract: -- |
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| 17:15–17:50 | -- |
Diskussion
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| Vorträge am Freitag, dem 8. Juni 2018 | |||
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| Uhrzeit | VortragendeR | Vortragstitel und Abstract | BetreuerIn |
| 13:15–13:45 | V. Z. |
Titel: Mathematik des Kartenmischens
Abstract: Die Mathematik des Kartenmischens ist ein alltagsnahes Problem und auch innermathematisch ein spannendes Forschungsthema. Die Arbeit bedient sich in ihrer Ausarbeitung grundlegender Themen aus dem Gebiet der Stochastik und Analysis. Begriffe wie Verteilung, Permutation, Zufallsvariable, Erwartungswert und Konvergenz spielen dabei eine zentrale Rolle. In der Ergebnisfindung kommt das Schwellenwertphänomen zum Gebrauch. In dieser Arbeit geht es darum herauszufinden, wie lange man einen Kartenstapel bestehend aus n Karten mischen muss, bis er zufällig angeordnet, das heißt gleichverteilt ist. Zufällig ist er dann, wenn man keine Information mehr über den Stapel hat. Diese Frage löst man mittels mathematischen Modellierens. Man entwirft ein vereinfachtes Modell des Kartenmischens bzw. des Mischprozesses. |
Joachim Mahnkopf |
| 13:55–14:25 | J. R. |
Titel: Stirling-Zahlen
Abstract: In meiner Arbeit beschäftige ich mich mit den Stirling-Zahlen erster und zweiter Art. Nachdem ich auf die Biografie des Mathematikers James Stirling eingegangen bin, führe ich zunächst die Stirling-Zahlen zweiter Art mit Hilfe von Partitionen ein. In einem weiteren Kapitel setze ich mich mit Permutationen und den Stirling-Zahlen erster Art auseinander. Außerdem leite ich die Formeln zur Berechnung der Stirling-Zahlen erster bzw. zweiter Art mit Hilfe von erzeugenden Funktionen her und gebe einen Einblick in die Beziehung der Zahlen zueinander. Weiters beschäftige ich mich mit der Einführung der Stirling-Zahlen zweiter Art unter der Verwendung des Prinzips von Inklusion und Exklusion in einem separaten Abschnitt. |
Christian Krattenthaler |
| 14:35–15:05 | P. W. |
Titel: Konzepte der evolutionären Spieltheorie
Abstract: Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Spieltheorie. Dazu wird einleitend kurz erklärt, was Spieltheorie ist und wer deren Begründer sind. Weiters wird erwähnt, was unter einem Spiel zu verstehen ist. Im zweiten Kapitel werden mit Hilfe des Gefangenendilemmas grundlegende Begriffe wie Auszahlungsmatrix, reine Strategie, dominante Strategie und Nash Gleichgewicht erarbeitet. Anschließend wird im dritten Kapitel die evolutionäre Spieltheorie eingeführt. Anhand des Spiels Schere-Stein-Papier wird auf gemischte Strategien und evolutionäre Stabilität eingegangen. |
Joachim Hermisson |
| 15:15–15:45 | L. V. |
Titel: Glatte Kurven
Abstract: Das Ziel dieser Bachelorarbeit ist, aus der anschaulichen, alltäglichen Vorstellung einer "glatten Kurve" im R2 bzw. R3 eine Definition für Kurven aus dem Rn zu synthetisieren, die für mathematische Betrachtungen geeignet ist. Das soll erreicht werden, indem ein sehr einfacher Entwurf durch systematisches Erweitern der Eigenschaften weiterentwickelt wird. Speziell konstruierte Beispiele illustrieren dabei, weshalb die Erweiterung der Eigenschaften notwendig ist. Schließlich werden mithilfe des entwickelten Begriffs zwei elementare Eigenschaften einer regulär parametrisierten Kurve skizziert und ihre geometrische Bedeutung erklärt: die Bogenlängenparametrisierung und die Krümmung einer (ebenen) Kurve. |
Andreas Čap |
| 15:55–16:25 | V. B. |
Titel: Mathematik und Origami
Abstract: In meiner Bachelorarbeit möchte ich mit dem Problem- bzw. der Fragestellung, welche Möglichkeiten es gibt mit Origami Mathematik zu betreiben, auseinandersetzten. Im ersten Teil der Bachelorarbeit wird das elementare Origami behandelt. Dabei werden die Origami Axiome und ihre Interpretation erklärt, um anschließend auf diesem Wissen in den folgenden Kapiteln aufbauen zu können. Weiters wird eine Konstruktion eines Origamis vorgestellt, mit deren Hilfe die Winkeldreiteilung erläutert wird. |
Joachim Mahnkopf |
| 16:35–17:05 | E. K. |
Titel: Die Keplerschen Gesetze
Abstract: -- |
Günther Hörmann |
| 17:15–17:50 | -- |
Diskussion
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| Vorträge am Freitag, dem 15. Juni 2018 | |||
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| Uhrzeit | VortragendeR | Vortragstitel und Abstract | BetreuerIn |
| 13:15–13:45 | J. J. |
Titel: Diffie-Hellman-Verschlüsselungsverfahren
Abstract: In meiner Bachelorarbeit beschäftige ich mich mit dem Diffie-Hellman-Verschlüsselungsverfahren, ein Public-Key-Verfahen das es uns ermöglicht, öffentlich einen gemeinsamen geheimen Schlüssel zu generieren. Im ersten Kapitel werde ich einige Grundlagen aus der Gruppentheorie definieren und beweisen, da Gruppen die Grundlage des Verfahrens sind. Danach werde ich das Verfahren mithilfe eines Protokolls vorstellen. |
Gerald Teschl |
| 13:55–14:25 | A. G. |
Titel: Zusammenhänge zwischen Nullstellen und kritischen Punkten von Polynomen
Abstract: Diese Arbeit beschäftigt sich mit den Zusammenhängen der Nullstellen von Polynomen und den Nullstellen ihrer 1.Ableitung (den kritischen Punkten). Zu Beginn werde ich die für die Arbeit wichtigen Begriffe definieren und grundlegende Sätze wiederholen, wie z.B. den Fundamentalsatz der Algebra oder den Satz von Rolle. Als Einführung in die Thematik möchte ich zeigen, dass sich die kritischen Punkte eines Polynoms mittels Formel direkt aus den Nullstellen des jeweiligen Polynoms berechnen lassen. Zentral für die Arbeit ist das Gauß-Lucas Theorem, das sehr vielseitige Anwendungen hat. Wichtig ist hier die Erkenntnis, dass die kritischen Punkte eines Polynoms immer in der konvexen Hülle der Nullstellen des jeweiligen Polynoms liegen. Als Letztes werde ich mich mit dem Marden Theorem auseinandersetzen, mit dem durch die Steiner Inellipse ein geometrischer Zusammenhang zwischen den Nullstellen eines Polynoms und seinen kritischen Punkten beschrieben werden kann. |
Armin Rainer |
| 14:35–15:05 | A. K. |
Titel: Der RSA-Algorithmus
Abstract: Kurzbeschreibung der Präsentation: Zunächst stelle ich mein Thema kurz vor, stelle meinen derzeitigen Stand sowie meine Motivation kurz da. Im Anschluss gehe ich auf Vorteilen des PublicKey-Kryptosystems sowie seiner Eigenschaften ein und zähle die wichtigsten Sätze des RSAAlgorithmusses auf und erkläre knapp die zugrundeliegende Mathematik. Anschließend beschreibe ich die Schlüsselerzeugung. Im Zentrum steht ein Anwendungsbeispiel zur Verschlüsselung und Entschlüsselung mittels des RSA-Algorithmus und der Beweis des zur Entschlüsselung verwendeten Satzes /Formel (4). Auf diese Weise soll sowohl der Nutzen als auch die Sicherheit dieser Verschlüsselungsmethode deutlich gemacht werden. |
Joachim Mahnkopf |
| 15:15–15:45 | J. S. |
Titel: Verschiedene Beweise des Satzes des Pythagoras
Abstract: Der Satz des Pythagoras ist fast jedem Menschen bekannt, der die neun Jahre Pflichtschule absolviert hat. Er steht bereits in der Unterstufe, um genau zu sein in der 7. Schulstufe, auf dem Lehrplan. Selten kann jedoch ein Schüler oder eine Schülerin diesen beweisen, obwohl auch der Beweis dafür in den Schulbüchern behandelt wird. Es gibt mittlerweile mehr als 200 Beweise vom Satz des Pythagroas und den meiner Meinung nach wichtigsten und bedeutendsten Beweisen möchte ich mich in meiner Bachelorarbeit widtmen und diese erläutern. |
Karl Auinger |
| 15:55–16:25 | M. N. |
Titel: Die Anwendung eines endlichen Körpers im Advanced Encryption Standard AES
Abstract: -- |
Gerald Teschl |
| 16:35–17:05 | F. H. |
Titel: Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen
Abstract: Funktionen zumindest lokal durch möglichst einfache Ausdrücke möglichst gut beschreiben zu können, ist sowohl innermathematisch, als auch in Anwendungsbereichen der Mathematik, oft von großer Bedeutung. Potenzreihen und im speziellen sogenannte Taylor-Reihen spielen dabei eine zentrale Rolle. In dieser Arbeit möchte ich systematisch erarbeiten, wie so eine Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe durchgeführt werden kann und welche Bedingungen dafür erfüllt sein müssen. Im ersten Kapitel wird zunächst das Thema gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen untersucht und dann werden wichtige Sätze in Zusammenhang mit Stetigkeit, Potenzreihen, Integration und Differentiation bewiesen und erläutert. Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit Taylor-Reihen, wobei zunächst die „Taylorsche Formel“ bewiesen wird, um dann die Taylor-Reihe einführen zu können. Zum Abschluss wird dann an der natürlichen Logarithmusfunktion die Entwicklung einer Funktion in eine Taylor-Reihe exemplarisch durchgeführt. |
Michael Kunzinger |
| 17:15–17:50 | -- |
Diskussion
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| Vorträge am Freitag, dem 22. Juni 2018 | |||
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| Uhrzeit | VortragendeR | Vortragstitel und Abstract | BetreuerIn |
| 13:15–13:45 | S. X. |
Titel: Der RSA-Algorithmus
Abstract: In meiner Arbeit setze ich mich mit dem RSA-Algorithmus auseinander. Auf einen kurzen Einblick in die geschichtlichen Hintergründe der Entstehung des Verfahrens folgen einige Definitionen und Sätze aus der Zahlentheorie. Ausgehend von der Teilbarkeit ganzer Zahlen erarbeite ich den Euklidischen Algorithmus und dessen Erweiterung. Über die Teilbarkeit gelange ich zur Kongruenz und betrachte darauf die Eulersche f-Funktion und den Satz von Euler. Mit den aufbereiteten Grundlagen widme ich mich anschließend der Erläuterung des RSA-Algorithmus stelle diesen dann anhand eines einfachen Beispiels dar. Zuletzt beleuchte ich noch, was die Stärken des RSA-Verfahrens sind. |
Markus Fulmek |
| 13:55–14:25 | C. T. |
Titel: Nullstellenberechnung von stetigen Funktionen
Abstract: Das zentrale Thema der Bachelorarbeit ist die Frage nach Möglichkeiten und Verfahren zur Berechnung von Nullstellen stetiger Funktionen. Das Problem, das bei dieser Fragestellung näherungsweise gelöst werden muss, ist die Gleichung f(x) = 0, wobei die Funktion f eine Abbildung f: R -> R sein soll. Es gibt sehr viele Verfahren, die eine Lösung für dieses Problem liefern. In dieser Arbeit werde ich insbesondere auf das Newton-Verfahren und das Bisektionsverfahren eingegehen und beide Verfahren miteinander verglichen. Dazu werden beide Verfahren allgemein vorgestellt, die Voraussetzungen und Bedingungen für die Durchführung der Verfahren geklärt und die Vor- und Nachteile der jeweiligen Verfahren angeführt. Beim Newton-Vehrfahren wird der Algorithmus graphisch dargestellt, um sich den Sachverhalt besser vorstellen zu können. Zusätzlich wird die Konvergenz des Newton-Verfahrens mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes bewiesen. Der Algorithmus des Bisektionsverfahrens dient als Beweis des Nullstellensatz der auch ausgeführt wird. Darüber hinaus wird der Zusammenhang zwischen dem Newton-Verfahren und dem Verfahren von Heron verdeutlicht. Den Abschluss der Arbeit bilden Beispiele, welche die zuvor ausgeführten Vor- und Nachteile demonstrieren und verdeutlichen. |
Maria Charina |
| 14:35–15:05 | H. Z. |
Titel: Koordinatenfreie Vektoren
Abstract: -- |
Franz Hofbauer |
| 15:15–15:45 | J. P. |
Titel: Der Fundamentalsatz der Algebra
Abstract: Die vorliegende Bachelorarbeit beschäftigt sich mit dem Fundamentalsatz der Algebra. Einleitend wird anhand von Beispielen aus Lehrbüchern die Notwendigkeit dieses Satzes für den Mathematikunterricht dokumentiert. Nach einem kurzen historischen Abriss werden in dieser Arbeit der Fundamentalsatz der Algebra formuliert und einer seiner vielen Beweise – der zugängliche Widerspruchsbeweis nach Cauchy – präsentiert. Abschließend wird mittels Anwendungsbeispielen die Bedeutung dieses Hauptsatzes gezeigt. |
Peter Raith |
| 15:55–16:25 | J. T. |
Titel: Der Existenzsatz von Peano
Abstract: Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit einem der wichtigsten Sätze aus der gewöhnlichen Differentialgleichung, dem Satz von Peano. Zunächst wird über dessen Leben und Erfolgsgeschichte berichtet, worauf im Anschluss auf die Bedeutung des Satzes eingegangen wird. Weiters werden wichtige Begriffe und Sätze definiert, um den darauffolgenden Beweis nachvollziehen zu können. Abschließend werden Beispiele erbracht, bei denen die Anwendung des Satzes unabdingbar ist. |
Peter Raith |
| 16:35–17:05 | C. U. |
Titel: Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
Abstract: Diese Arbeit beschäftigt sich mit den Eindeutigkeits- und Existenzsatz von Picard-Lindelöf. Dieser Satz stellt neben den Satz von Peano einer der wichtigsten Sätze in der Di?erentialgleichung dar. Aus dem Satz von Picard-Lindelöf geht hervor, dass jedes Anfangswertproblem für ein Di?erentialgleichungssystem zumindest in einer kleinen Umgebung des Anfangswertes genau eine Lösung besitzt und stetig di?erenzierbar ist. Allerdings muss für die Funktion, welche sich durch die Transformation auf ein System erster Ordnung ergibt, die Lipschitz-Bedingung erfüllt sein. Außerdem wird in dieser Arbeit der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf bewiesen und auf die Begri?e Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit eingegangen. Mittels Anwendungsbeispielen werden der Satz von Picard-Lindelöf und die einzelnen Voraussetzungen und ihr Zusammenspiel weiter verdeutlicht. |
Peter Raith |
| 17:15–17:50 | -- |
Diskussion
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