Bachelorseminar für das Lehramt

Bachelorseminar für das Lehramt

Maria Charina, Stefan Haller, Karlheinz Gröchenig und Joachim Mahnkopf
Tutor: Albert Georg Passegger

Sommersemester 2018, LVN: 250054

Vortragsprogramm für Gruppe 2 (Maria Charina, Stefan Haller, SR 11)

Vorbesprechung: Freitag, 9. März 2018, 10:00–11:30, Seminarraum 11

Vorträge am Freitag, dem 25. Mai 2018
Uhrzeit	VortragendeR	Vortragstitel und Abstract	BetreuerIn
10:40–11:10	R. C.	Titel: Wie spielt man Blackjack - ein Ansatz mittels Markov-Ketten Abstract: --	Peter Raith
11:20–11:50	I. B.	Titel: Trilineare und baryzentrische Koordinaten in der Dreiecksgeometrie Abstract: Diese Arbeit beschäftigt sich mit trilinearen und baryzentrischen Koordinaten in der Dreiecksgeometrie. Im Gegensatz zu kartesischen Koordinaten verfügen sie über keinen Referenzpunkt wie den Ursprung, sondern geben Punkte in Bezug auf ein gegebenes Dreieck an. Außerdem handelt es sich nicht um absolute Koordinaten, sondern um Verhältnisse. Punkte in- und außerhalb eines Bezugsdreiecks werden durch Tripel beschrieben, die im Falle der trilinearen Koordinaten den gerichteten Normalabständen zu den jeweiligen Dreiecksseiten entsprechen, im Falle der baryzentrischen Koordinaten den Gewichtungen der Eckpunkte des Bezugsdreiecks. Mithilfe dieser Koordinaten können einige inner- und außermathematische Probleme sehr elegant gelöst werden.	Franz Embacher
13:15–13:45	S. B.	Titel: Neunerfresser und der schiefe Turm - Zwei Anwendungen der harmonischen Reihe Abstract: Das Ziel der vorliegenden Bachelorarbeit ist es, die harmonische Reihe anhand von zwei Beispielen näher zu betrachten. Dazu werden einerseits die Summandenfresser, genauer gesagt der Neunerfresser, vorgestellt und gezeigt, was für eine Auswirkung es hat gewisse Faktoren in einer harmonischen Reihe wegzulassen. Andererseits wird das (Gedanken-)Experiment des schiefen Turms behandelt. Hierbei wird gezeigt, wie von einer einfachen Fragestellung auf eine mathematische Beschreibung und schlussendlich zur Lösung des Problems mittels der harmonischen Reihe geführt werden kann. Genauer gesagt, es handelt sich um einen Turm der aus gleichgroßen Steinen gebaut wird, der eine maximale Schräglage aufweisen soll, ohne einzustürzen. Zur Bearbeitung der Thematik wurde großteils auf Fachliteratur und Skripten zurückgegriffen.	Volkmar Putz
13:55–14:25	M. P.	Titel: Ko- und kontravariante Darstellung Abstract: Sowohl in der Mathematik als auch in der Physik ist es oft sinnvoll, Sachverhalte in verschiedenen Koordinatensystemen darzustellen. Vor allem in der allgemeinen Relativitätstheorie wird mit Hilfe von gekrümmten Koordinatensystemen die Gravitation als Raum-Zeit-Krümmung dargestellt. In einem gekrümmten Koordinatensystem gibt es zwei Möglichkeiten, die Komponenten ein und desselben Vektors zu definieren. Diese werden kovariante bzw. kontravariante Komponenten genannt. Diese Arbeit beinhaltet die Herleitung dieser Komponenten aus dem kartesischen Koordinatensystem sowie deren Zusammenhang, geometrische Interpretation, und den daraus folgenden Metrik-Tensor.	Volkmar Putz
14:35–15:05	M. S.	Titel: Das Noether-Theorem Abstract: Die Arbeit behandelt einen der wichtigsten Sätze der theoretischen Physik von Emmy Noether. Es wird zunächst eine Kurzbiographie von Amalie Emmy Noether gegeben. Danach wird wichtiges physikalisches und mathematisches Fachwissen behandelt, welches für die Herleitung des Noether-Theorems essentiell ist. Dabei werden die Begriffe Funktional und Extremal detailliert definiert und Beispiele angeführt. Ebenfalls wird beschrieben, was Symmetrien und Erhaltungssätzen in der Physik bedeuten. Zuletzt wird das Noether-Theorem über die Rund-Trautman Identität, die gilt, wenn ein System invariant unter einer infinitesimalen Transformation ist, hergeleitet.	Volkmar Putz

Vorträge am Freitag, dem 8. Juni 2018
Uhrzeit	VortragendeR	Vortragstitel und Abstract	BetreuerIn
10:00–10:30	K. W.	Titel: Zifferndarstellung und Teilbarkeitsregeln Abstract: Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Zifferndarstellung und den Teilbarkeitsregeln. Die Arbeit soll zeigen, dass die Zifferndarstellung auf der Division mit Rest beruht und diese auch die Grundlage für das Rechnen mit Kongruenzen darstellt. Es werden Rechenregeln für das Rechnen mit Kongruenzen bewiesen, auch Anwendungsbeispiele wie beispielsweise, dass es jedes Jahr einen Freitag den 13. gibt, werden besprochen. Des Weiteren werden Teilbarkeitsregeln anhand von Kongruenzen für Primzahlen bis inkl. 13 gezeigt, auch Teilbarkeitsregeln für zusammengesetzte Zahlen wie z. B. 6 werden behandelt. Abschließend wird die Frage ob es für jede Primzahl eine Teilbarkeitsregel gibt und ob dies für das Rechnen nützlich ist, beantwortet.	Leonhard Summerer
10:40 – 11:10	V. S.	Titel: Der Satz von Sylvester-Gallai Abstract: Die Arbeit behandelt die Euler’sche Polyederformel, sowie den Sylvester-Gallai Satz, welcher mit Hilfe dieser Formel bewiesen werden kann. Die Euler’sche Polyederformel besagt, dass das Verhältnis von Ecken, Kanten und Flächen eines konvexen Polyeders konstant ist. Inhalt der Arbeit sind drei sehr unterschiedliche Beweise der Euler’schen Polyederformel, so wie ein kurzer geschichtlicher Hintergrund. Eine Anwendung der Formel findet sich im Sylvester-Gallai Satz wieder, welcher im Groben besagt, dass, wenn mindestens drei Punkte in der Ebene nicht alle auf einer Gerade liegen, dann gibt es eine Gerade, welche genau zwei der Punkte enthält.	Stefan Haller
11:20–11:50	I. S.	Titel: Fibonacci numbers Abstract: In the thirteenth century Leonardo of Pisa introduced the sequence of Fibonacci numbers which appear surprisingly often in nature and now play an important role in computer science. In my bachelor presentation I would like to show the definition of the Fibonacci sequence and a geometric paradox using the Fibonacci numbers. I will present the Cassini identity, an example, its proof and show how it is related to the geometric paradox. Then I will show one of Cassini’s generalization identity (Catalan or d’Ocagne) and its proof.	Andreas Ulovec
13:15–13:45	L. G.	Titel: Spieltheorie und Vertrauen Abstract: Diese Arbeit beschäftigt sich zuerst mit den Grundlagen der Spieltheorie und unter anderem mit etwaigen Anwendungsgebieten und zwei berühmten Beispielen. Anhand dieser Beispiele werden Grundbegriffe der Spieltheorie erklärt sowie dessen Arbeitsweise den Lesern nähergebracht. Außerdem werden zwei entscheidende Faktoren eingeführt, die großen Einfluss auf die Spieltheorie generell und besonders auf diese zwei Beispiele haben. Dabei wird besonders auf das Dilemma der Rückwärtsinduktion eingegangen. Außerdem behandelt diese Arbeit auch die Situation, in der Spiele nicht nur einmal sondern öfters hintereinander wiederholt werden. Dies wird auch anhand eines Rechenbeispiels nähergebracht.	Joachim Hermisson
13:55–14:25	A. K.	Titel: Das Simpson-Paradoxon Abstract: In keinem anderen Teilgebiet der Mathematik gibt es so viele Aufgaben, deren Lösung dem menschlichen Verstand widersprechen, wie in der Stochastik. Es gibt eine Fülle von Aufgaben, die von Mathematikern, und auch Psychologen als „kognitive Täuschung“, untersucht werden. Die Schätzung der Lösung eines Stochastischen Paradoxa, liegt häufig weit von dem Ergebnis entfernt, doch die Intuition hinterlässt das Gefühl, dass die Schätzung richtig sei. Man kann Paradoxa nützen, um die Intuition zu verbessern und das „stochastische Denken“ zu schulen. Im Vortrag wird nur das Simpson-Paradoxon behandelt. Das Simpson-Paradoxon betrachtet Ereignisse, bei denen das Gesamtergebnis ein anderes ist als die einzelnen Teilereignisse. Dadurch kann es zu Fehlinterpretationen kommen, wie es bei einem berühmten Fall an der Universität in Berkeley gekommen ist. Die Universität wurde der Frauendiskriminierung beschuldigt, das ließ sich mithilfe des Simpson-Paradoxon aufklären, und am Ende erkannte man, dass Frauen bevorzugt wurden.	Christoph Baxa
14:35–15:05	M. L.	Titel: Graphentheorie: Grundlagen und Anwendung Abstract: In dieser Arbeit werden die Grundlagen der Graphentheorie, ihre Anwendung und die Motivation dahinter vorgestellt. Die wichtigsten Definitionen und Sätze von gerichteten und ungerichteten Graphen werden beschrieben. Die Anwendungsgebiete werden genauer betrachtet und anhand der drei Algorithmen Dijkstra, Kruskal und Ford-Fulkerson mit Beispielen genauer beschrieben und erklärt.	Andreas Ulovec

Vorträge am Freitag, dem 15. Juni 2018
Uhrzeit	VortragendeR	Vortragstitel und Abstract	BetreuerIn
10:00–10:30	J. W.	Titel: Stetige Kurven und ihre Eigenschaften Abstract: Die Arbeit beschäftigt sich mit stetigen Kurven und behandelt einige ihrer wichtigsten Eigenschaften. Zunächst wird eine Definition für stetige Kurven abgeleitet, im Anschluss werden die wichtigsten Eigenschaften wie (stetige) Differenzierbarkeit und Rektifizierbarkeit behandelt. In den beiden abschließenden Kapiteln werden zwei Spezialfälle, die Koch’sche Schneeflocke und Peano-Kurven, stetiger Kurven herausgegriffen und gesondert betrachtet.	Andreas Čap
10:40–11:10	C. P.	Titel: Orthogonale Abbildungen und Matrizen Abstract: Diese Arbeit beschäftigt sich mit orthogonalen Abbildungen bzw. mit orthogonalen Matrizen. Das Ziel der Arbeit ist es, diese Abbildungen speziell in R² und R³ näher zu beschreiben und zu zeigen, welche Bedeutung dabei Drehungen und Spiegelung haben. Zunächst erfolgt dazu eine Wiederholung grundlegender Begriffe, welche für den weiteren Teil der Arbeit notwendig sind. Anschließend werden einige wichtige Eigenschaften orthogonaler Abbildungen vorgestellt und bewiesen. Auf dieser Grundlage können diese in R² und R³ näher analysiert werden. Abschließend wird ein allgemeines Resultat über orthogonale Abbildungen in Rn vorgestellt.	Andreas Čap
11:20–11:50	J. S.	Titel: Starrheit konvexer Polyeder Abstract: In meiner Bachelorarbeit geht es um die Starrheit von konvexen Polyeder. Dazu wird der Starrheitssatz von Cauchy näher betrachtet und der Beweis in verkürzter Form skizziert. Für den Beweis wird zum Einen das geometrische Vorwissen kurz aufgefrischt, zum Anderen erfolgt ein Exkurs zu Großkreisbögen um den Beweis besser verstehen zu können. Danach folgt als Anwendung ein allgemeiner Beweis, der Eindeutigkeit, der fünf platonischen Körper. Für die Bachelorarbeit wurde teils auf diverse Fachliteratur zurückgegriffen.	Stefan Haller
13:15–13:45	T. D.	Titel: Gewinnchance: Tennis versus Tischtennis Abstract: Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einem Anwendungsgebiet der Stochastik, nämlich dem Sport. In Spielsportarten ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung eine gute Möglichkeit, das Wesen der unterschiedlichen Zählweisen genauer zu betrachten und somit zu erkennen, inwieweit stärkere Spieler im Spielverlauf begünstigt werden. Anhand der Sportarten Tennis und Tischtennis wird zuerst die Gewinnchance, abhängig von der Punktwahrscheinlichkeit, in den Sportarten beschrieben und dann die beiden Zählweisen miteinander verglichen. Dabei stellt sich heraus, dass beim Tennis ein kleiner Vorteil in der Spielstärke die Chance eines Sieges mehr erhöht als beim Tischtennis. Außerdem wird ein weiterer stochastischer Grundbegriff zur Ermittlung der Dauer des Tischtennisspiels verwendet. Dafür werden Potenzreihen und ihre Eigenschaften genauer betrachtet und zur Berechnung herangezogen.	Peter Raith
13:55–14:25	D. Z.	Titel: Der kleine Satz des Fermat - Beweismöglichkeiten und Anwendungsbeispiele Abstract: Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit dem kleinen Satz des Fermat. Ziel ist daher eine Spezialisierung in Richtung Zahlentheorie da dieser Satz aus diesem Teilgebiet der Mathematik stammt. Es wird eine Kurzbiographie des Verfassers gegeben und ebenso die wichtigsten Begriffe, wie zum Beispiel „was ist eine Primzahl“ erklärt. Bevor zwei verschiedene Beweismöglichkeiten aufgezeigt werden, wir es eine kleine Hinführung geben. In einem weiteren Schritt werden diverse Anwendungsgebiete aufgezeigt. Eines davon ist das Sieb des Eratosthenes, da dieses auch in der Schule immer wieder verwendet wird. Auch der Fermat-Test ist Teil dieser Arbeit.	Eduard Nigsch
14:35–15:05	M. L.	Titel: Bitcoins - eine Beleuchtung der mathematischen Aspekte Abstract: Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit den mathematischen Grundlagen, die hinter Bitcoin stehen. Bitcoin erlangt im Jahr 2010 erste Bekanntheit und sollte den Wunsch erfüllen, dass Transaktionen dezentralisiert ausgeführt werden können. Da es somit keine zentrale Kontrolle, wie beispielsweise eine Bank, gibt, die überprüft, ob die Transaktion rechtmäßig ist, musste eine Möglichkeit gefunden werden, die die Sicherheit des Systems dennoch aufrecht hält. Mathematische Verfahren, wie der Diffie-Hellman Schlüsselaustausch und das diskrete Logarithmusproblem unterstützen diese Aufgabe genauso wie elliptische Kurven. Deshalb wird die Arbeit sowohl auf die Funktionsweise von Bitcoin, als auch auf die eben genannten Verfahren Bezug nehmen.	Gerald Teschl
15:15–15:45	K. M.	Titel: Nicht-euklidische Geometrie Abstract: In dieser Arbeit soll die Geschichte und Entwicklung der nicht-euklidischen Geometrie näher beleuchtet werden. Fast 2000 Jahre lang wurde Euklids ebene Geometrie als die einzige Geometrie gelehrt. Der Weg bis zur Entdeckung anderer Geometrien durch Gauß, Lobatschewski, Bolyai und Riemann war lang. Das Parallelenaxiom gab den Anstoß zur Entdeckung der hyperbolischen Geometrie, doch es dauerte noch bis die nicht-euklidischen Geometrien in der Wissenschaftsgemeinde akzeptiert wurden und ihre Widerspruchsfreiheit gezeigt werden konnte. Riemann hatte schließlich als erster eine allgemeine Theorie geschaffen, um die verschiedenen Geometrien zu klassifizieren und neue geometrische Systeme zu finden. Außerdem wird, als einfaches Beispiel für eine nicht-euklidische Geometrie, die sogenannte Taxi-Geometrie vorgestellt, in der das Parallelenaxiom ebenfalls nicht gilt. Anschließend werden verschiedene Modelle sowohl der hyperbolischen als auch der elliptischen Geometrie besprochen. Hierzu wird besonders mit Anschauungen gearbeitet, um wichtige Eigenschaften der beiden Geometrien herauszuarbeiten.	Hendrik Bruin

Vorträge am Freitag, dem 22. Juni 2018
Uhrzeit	VortragendeR	Vortragstitel und Abstract	BetreuerIn
10:00–10:30	Z. P.	Titel: Die Mathematik der musikalischen Konsonanz Abstract: In meiner Seminararbeit werde ich mich mit der Mathematik der Musik beschäftigen. Dieser Teil der Mathematik wird wenig diskutiert, obwohl er in der Schule auch als ein Aspekt der Angewandten Mathematik beigebracht werden könnte. Ich werde mich nur mit den Grundbegriffen der Mathematik befassen, aber ich werde versuchen, diese mathematisch gut begründet aufzubauen. Ich konzentriere mich auf den Begriff "Konsonanz". Zunächst muss erklärt werden, was ein Ton ist, wie er entsteht und wie er mathematisch beschrieben werden kann. Dazu werde ich die Fourier-Reihen und den physikalischen Begriff der "Frequenz" benutzen. Im zweiten Schritt setze ich mich mit der Proportion der Töne, mit dem Begriff des "Fundamentaltons", und seine Bedeutung bei der Untersuchung der Konsonanz/Dissonanz auseinander. Danach werde ich die Existenz der Konsonanz zwischen Tönen und innerhalb eines Tonleiters untersuchen. Am Ende meiner Arbeit werde ich die Anwendungsmöglichkeiten der Musiktheorie in Bezug auf den mathematischen Lehrplan behandeln.	Monika Dörfler
10:40–11:10	B. L.	Titel: Der eindimensionale quantenmechanische harmonische Oszillator Abstract: Diese Arbeit befasst sich mit dem eindimensionalen quantenmechanischen harmonischen Oszillator. Um diesen gut beschreiben zu können, wird zunächst die Hermitesche Differentialgleichung betrachtet und gelöst. Danach wird gezeigt, dass die Lösungen dieser Differenzialgleichung - die Hermite-Funktionen - ein vollständiges Orthonormalsystem für den Raum L²(R) bilden. Anschließend werden kurz einige wichtige Sachverhalte der Quantenmechanik erklärt und beschrieben. Zuletzt wird der quantenmechanische harmonische Oszillator auf zwei Arten behandelt: In der ersten Methode wird gezeigt, dass von der Schrödingergleichung ausgehend, die Hermitesche Differentialgleichung entsteht und dass die Hermite-Funktionen damit Eigenfunktionen des Oszillators sind. Die zweite Methode verwendet darstellungsunabhängige Operatoren und Vektoren und liefert eine elegante und anschauliche Lösung des Oszillatorproblems.	Roland Donninger
11:20–11:50	A. W.	Titel: Das Mehr-Perioden-Binomialmodell Abstract: In dieser Arbeit wird ein Bereich der Finanzmathematik behandelt. Zuerst wird das Ein-Perioden-Binomialmodell behandelt und mit Hilfe der erlangten Grundlagen, wird auf das Mehr-Perioden-Binomialmodell hingeführt. Dieses Theorem, dass es für alle Fälle gilt, wird danach bewiesen. Dieses Thema wurde gewählt, da im Lehramtsstudium (Bachelor) kein Bereich aus der Finanzmathematik behandelt wird, dieses Thema aber durchaus Anwendung im Unterricht finden könnte. Deshalb soll mit Hilfe dieser Arbeit, die notwendigen Grundlagen für das spätere behandeln dieses Themas geliefert werden.	Johanna Michor
13:15–13:45	V. R.	Titel: Modelle von Populationswachstumsprozessen Abstract: Die zunehmende Weltbevölkerung ist für die Wissenschaft ein äußerst wichtiges Thema. Vor allem die Biologie, die Ökologie, die Epidemiologie und die Wirtschaft beschäftigen sich mit diesem Thema, bedienen sich dabei allerdings stets den Methoden der Mathematik. Die reale Situation wird von unzähligen Umweltfaktoren bestimmt, welche nicht alle direkt in die Berechnung miteinbezogen werden können. Aus diesem Grund ist es Inhalt dieser Bachelorarbeit, die Ideen der jeweiligen Modellierungen zu besprechen und die grundlegenden Modelle dieser Wachstumsprozesse der Population darzulegen und zu erklären. Dabei wird grundsätzlich zwischen diskreten und kontinuierlichen Modellen unterschieden. Diskrete Modelle beachten Änderungen nur zu festgeschriebenen Zeitpunkten, kontinuierliche Modelle beachten stetige Änderungen. Somit gibt es auch in der Berechnung der Modelle große Unterschiede, diese werden in den folgenden Seiten besprochen. Es wird auch eine kurze Einführung in das Chaos geben, welches bei der Modellierung von Wachstumsprozessen auftreten kann.	Peter Raith
13:55–14:25	S. K.	Titel: JPEG-Verfahren Abstract: In meiner Bachelorarbeit beschäftige ich mich mit dem JPEG-Verfahren, dies ist ein Standard zur Codierung von Einzelbildern. Jede Person, die Fotos macht, speichert oder verschickt, benutzt bewusst oder unbewusst Kompressionsverfahren. Ohne diese wäre es nicht möglich unzählige Fotos auf der Speicherkarte der Kamera oder des Handys zu bewahren. Zuerst wird ein Überblick über verlustfreie und verlustbehaftete Bildkompression und die Historie des JPEG-Standards geben. Anhand der diskreten Fouriertransformation wird die Idee des JPEG-Verfahrens vereinfacht dargestellt. Dazu werden ein Ausschnitt eines Bildes mit der schnellen Fouriertransformation komprimiert und die Ergebnisse unterschiedlich starker Kompressionen vorgestellt. In einem weiteren Kapitel wird das klassische JPEG-Verfahren beschrieben. Dieser verlustbehaftete Algorithmus kombiniert mehrere unterschiedliche, sich jedoch ergänzende Kompressionsmethoden.	Peter Raith
14:35–15:05	M. K.	Titel: Der goldene Schnitt Abstract: Der Goldene Schnitt spielt in der Mathematik schon seit Jahrhunderten eine herausragende Rolle. Bereits der griechische Mathematiker Euklid beschäftigte sich in seinem Buch „Die Elemente“ mit diesem mathematischen Phänomen. Die „Elemente“ sind das älteste mathematische Lehrwerk, in dem der Goldene Schnitt erstmals konstruiert wurde. Meine Arbeit befasst sich zunächst mit der Definition des Goldenen Schnitts, sowie seinen charakteristischen Eigenschaften. Das zweite Kapitel hat einen historischen Aspekt und behandelt eine Konstruktion und einen Beweis des Goldenen Schnitts ganz im Stile Euklids, d.h. ausschließlich mit den Hilfsmitteln, die auch Euklid in seinen „Elementen“ zur Verfügung standen, also lediglich mit Zirkel und Lineal. Dabei müssen zuvor weitere Sätze aus den „Elementen“ gezeigt und konstruiert werden, bevor man schließlich zum Goldenen Schnitt gelangt.	Stefan Haller
15:15–15:45	T. C.	Titel: Konvergenzkriterien von Reihen & Riemannscher Umordnungssatz Abstract: Bei den (unendlichen) Reihen geht es um spezielle Folgen, deren Glieder durch Summation entstehen. Für diese Reihen gibt es spezielle Konvergenzkriterien und das Ziel dieser Arbeit ist die Konvergenzkriterien der (unendlichen) Reihe vorzustellen. Dieses Thema umschließt das erste Kapitel der Bachelorarbeit. Der zweite Teil der Bachelorarbeit befasst sich mit dem Riemannschen Umordnungssatz. Um konkreter zu sein, behandelt das Kapitel die Umordnung der Glieder von Reihen und es wird untersucht, ob durch die Umordnung der Glieder das Konvergenzverhalten bzw. der Grenzwert ändert. Im Konkreten soll es um die Frage gehen, ob es eine Art Kommutativgesetz für unendliche Reihen gibt.	Michael Kunzinger

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