Bachelorseminar für das Lehramt

Maria Charina und Stefan Haller

Wintersemester 2017/18, LVN: 250125

Vortragsprogramm für Gruppe 2 (Stefan Haller, SR 10)

 

Vorträge am Freitag, dem 15. Dezember 2017
Uhrzeit VortragendeR Thema BetreuerIn
9:45 -- 10:15 J. K.
Das Benford Gesetz

Abstrakt: Ziel dieser Arbeit ist es, die Benford'sche Verteilung zu erklären. Um dies zu erreichen, müssen zunächst die dafür notwendigen mathematischen Grundbegriffe, wie die Definition der führenden Ziffer, der Gaußklammer, des Bruchteils einer reellen Zahl und der Dichte einer Folge von Zahlen im Einheitsintervall, definiert und erklärt werden. Um die Benford'sche Verteilung verstehen zu können, bedarf es auch einem Verständnis über die Gleichverteilung. Diese wird in dieser Arbeit durch zwei Beispiele eingeführt und anschließend definiert. Frank Benford entdeckte gegen Ende des 19. Jahrhunderts, dass die damals viel benutzten Logarithmentafeln an den ersten Seiten weitaus mehr abgenutzt waren als die letzten. Er fand durch einige Überlegungen das nach ihm benannte Benford'sche Gesetz. Es besagt, dass die Ziffer eins als führende Ziffer mit 30,1% am häufigsten, die Ziffer zwei mit 17,6% am zweit häufigsten, etc. vorkommt. Zum Schluss werden Anwendungen des Benford'schen Gesetzes, wie die logarithmische Skala und die Auffindung von manipulierten Datenfäschung aufgezeigt. 		Gernot Greschonig
10:30 -- 11:00 F. D.
Das Sekretärinnenproblem

Abstrakt: Im Alltag findet man sich häufig in Situationen wieder, in welchen man sich entscheiden muss, ob man ein Angebot bzw. eine mögliche Option wahrnimmt, oder doch noch weiter abwartet und hofft, dass sich in naher Zukunft eine noch bessere Wahl bietet. Diese Problematik findet sich im Sekretärinnenproblem, bei dem sich ein Chef im Zuge einer Bewerbungsprozedur nach jeder Bewerberin sofort entscheiden muss, ob er diese als neue Sekretärin einstellt, oder doch noch auf eine bessere Bewerberin wartet, wieder. Die Frage, die sich nun stellt und welche im Laufe dieser Arbeit beantwortet wird, ist, wie der Chef beim Bewerbungsverfahren vorzugehen hat, um mit der größtmöglichen Wahrscheinlichkeit die beste Sekretärin einzustellen. Um diese Frage beantworten zu können, werde ich die grundlegende Problematik zunächst anhand einfacher Beispiele verständlich und ein Denkmuster klar machen. Anschließend werde ich, mit Hilfe des erarbeiteten Denkmusters, eine Formel zur Beschreibung der Erfolgswahrscheinlichkeit aller möglichen Strategien herleiten. Mit Hilfe der hergeleiteten Formel ergibt sich die maximale Erfolgswahrscheinlichkeit genau dann, wenn der Chef die ersten 36,79% der Bewerberinnen abwartet, bis er schließlich die nächste Sekretärin einstellt, die besser ist, als alle bisherigen. Die hergeleitete Formel wird durch eine Simulation aller möglichen Strategien bei 100 Bewerberinnen überprüft und eine Übereinstimmung gezeigt. 		Gernot Greschonig

 

Vorträge am Freitag, dem 12. Jänner 2018
Uhrzeit VortragendeR Thema BetreuerIn
9:45 -- 10:15 G. K.
Kleiner Fermat

Abstrakt: - Einordnung: Was ist der "Kleine Fermat"? --- Ausblick: Präsentation mehrerer Beweismöglichkeiten
- Kongruenzen
- Beweis mit Induktion
- Die Eulersche Phi-Funktion
- Satz von Euler
- Beweis mit Satz von Euler
- Beweis von Leibniz
- Anwendung als Primzahlentest und Grundlage für andere Primzahlentests
- Anwendung fürs RSA-Verfahren 		Leo Summerer
10:30 -- 11:00 N. V.
Anwendungen des Peripheriewinkelsatzes

Abstrakt: Wie der Titel meiner Arbeit Anwendungen des Peripheriewinkelsatzes bereits verrät, geht es vorläufig darum, einige Anwendungsmöglichkeiten des Peripheriewinkelsatzes darzulegen. Ziel ist es die Adressaten mit der Thematik des Peripheriewinkelsatzes näher/ wieder vertraut zu machen und ein Verständnis für die Lösungen der Beispiele aufzubringen. In der Einleitung führe ich ein wenig in die geschichtlichen Hintergründe des Peripheriewinkelsatzes ein, wozu jedoch keine umfangreichen Informationen zu finden sind. Diesen Teil werde ich auch in meinem Vortrag sehr kurz halten. Zum Einstieg wiederhole ich kurz den Peripheriewinkelsatz. Anschließend werde ich drei meiner Anwendungsbeispiele vorrechnen und erklären. Für den Abschluss hätte ich mir noch einige Fragen für die Sudierenden überlegt, welche ich jedoch nur stellen werde, falls die Beispiele nicht die ganze Zeit in Anspruch nehmen. 		Franz Hofbauer
11:15 -- 11:45 M. L.
Sangaku - japanische Tempelgeometrie

Abstrakt: In dieser Arbeit geht es um die Tempelgeometrie Japans, auch Sangaku genannt. Sangaku bedeutet wörtlich übersetzt "mathematische Tafeln". Diese kunstvoll verzierten Holztafeln sind während der Edo-Zeit (1603-1867) entstanden und schmücken buddhistische Tempel und Schreine. Sie wurden als Opfergaben für Götter angefertigt und waren eine mathematische Herausforderung für Pilger und Bürger. Sangaku-Aufgaben stammen vorwiegend aus dem Bereich der klassischen euklidischen Geometrie. Einander berührende Kreise, Dreiecke, Ellipsen und weitere geometrische Objekte stellen verschieden anspruchsvolle Aufgaben dar. Diese sind zum Teil mit grundlegenden Mathematikkenntnissen zu lösen oder bedürfen komplexer außergeometrischer Mittel. Ich werde zwei Aufgaben vorstellen, deren Skizzen mithilfe des Programmes Geo Gebra angefertigt wurden und einen spannenden nachvollziehbaren Lösungsweg beinhalten. Mein Ziel ist, einen Einblick in die japanische Wasan-Mathematik, der kaum Beachtung geschenkt wird und immer mehr in Vergessenheit gerät, zu gewähren und zu zeigen, dass diese interessanten Aufgaben regelrecht zum Rätseln anregen. 		Franz Hofbauer
13:00 -- 13:30 H. N.
Extremwertaufgaben mit Funktionen in zwei Variablen

Abstrakt: Extremwertaufgaben bezeichnen das Problem, dass eine bestimmte Größe minimiert oder maximiert werden soll. Diese Größe wird durch eine Funktion, die sogenannte Zielfunktion, beschrieben und hängt bei Aufgaben, wie sie nach dem Lehrplan in der Schule behandelt werden, nur von einer anderen Größe ab ab. Jedoch reichen diese Funktionen f(x) bei vielen Problemstellungen nicht aus. Diese Arbeit beschäftigt sich daher mit Extremwertaufgaben mit Funktionen in zwei Variablen f(x,y), beziehungsweise mit dem Problem, die globalen Minima und Maxima einer Funktion zu bestimmen, die von zwei Variablen abhängt. Dieses Thema ist ein zentraler Bereich der Analysis in mehreren Variablen. Deren Grundbegriffe werden in dieser Arbeit soweit definiert und erläutert, wie dies für das Verständnis und die Lösung derartiger Aufgabenstellungen notwendig ist. Ein möglicher Lösungsweg wird zunächst allgemein erklärt und anschließend anhand zweier Beispiele gezeigt. Den Abschluss stellt der Beweis eines für diesen Themenbereich zentralen Satzes dar, des Satzes vom Minimum und Maximum. Dieser garantiert für bestimmte Funktionen die Existenz eines globalen Minimums, sowie eines globalen Maximums. 		Peter Raith
13:45 -- 14:15 S. S.
Max Dehns Lösung des dritten Hilbert'schen Problems

Abstrakt: David Hilberts "23 Mathematischen Probleme" aus dem Jahr 1900 sind vermutlich vielen ein Begriff. In seinem dritten ging Hilbert davon aus, dass die Volumengleichheit zweier Tetraeder mit gleichem Grundflächeninhalt und gleicher Höhe nicht allgemein durch elementare Methoden, konkret durch Zerlegungen in oder Ergänzungen von kongruenten Tetraedern, beweisbar ist. Sein Schüler, Max Dehn, bestätigte seine Annahme bereits wenige Jahre darauf und löste das rein geometrische Problem mittels algebraischer Methoden. Dafür definierte er eine sogenannte "Dehninvariante" für Polyeder. Die Additivität der Dehninvariante impliziert, dass für zerlegungs- und ergänzungsgleiche Polyeder die Invariante den selben Wert annimmt. Hat man nun zwei Polyeder mit ungleicher Dehninvariante, so können diese nicht zerlegungsgleich sein. Max Dehn bewies, dass die Dehninvariante eines Würfels nicht mit jener eines regelmäßigen Tetraeders mit gleichem Volumen übereinstimmt. Das bedeutet, dass diese nicht zerlegungsgleich sind, woraus folgt, dass Polyeder gleichen Volumens im Allgemeinen nicht zerlegungsgleich sind. 		Stefan Haller

 

Vorträge am Freitag, dem 19. Jänner 2018
Uhrzeit VortragendeR Thema BetreuerIn
9:45 -- 10:15 K. F.
Die Erdös-Mordell-Ungleichung

Abstrakt: Ziel meiner Bachelorarbeit ist es, die Erdös-Mordell-Ungleichung, welche im Jahr 1935 von Paul Erdös vermutet wurde, zu beweisen. Diese besagt, dass für jedes Dreieck ABC mit einem beliebig gewählten Punkt P im Inneren des Dreiecks gilt, dass die Summe der Abstände vom Punkt P zu den Eckpunkten mindestens doppelt so groß ist, wie die Summe der Normalabstände von P zu den Dreiecksseiten. Für den Beweis dieser geometrischen Ungleichung wird zunächst ein Hilfssatz formuliert, der anschließend auf drei unterschiedliche Arten gezeigt wird; unter anderem wird hierfür der Satz von Ptolemäus verwendet. Es werden noch weitere notwendige Sätze bewiesen um schlussendlich die gesuchte Ungleichung zu erhalten. 		Franz Hofbauer
10:30 -- 11:00 A. S.
Der Satz von Pick

Abstrakt: Das Ziel des Vortrages ist es, das unter dem Namen "Satz von Pick" berühmt gewordene Resultat von dem österreichischen Mathematiker Georg Pick zu erklären. Es handelt sich dabei um ein echtes Juwel der elementaren Geometrie, das besonders durch seine Einfachheit und Eleganz beeindruckt. Mit dem Satz von Pick ist es möglich, den Flächeninhalt von einfachen Polygonen, deren Eckpunkte ganzzahlige Koordinaten haben, nur mit Hilfe der Anzahl der inneren Gitterpunkte und der Anzahl der Gitterpunkte auf den Polygonseiten zu berechnen. Es werden dazu zwei Beweise mit einem jeweils anderen Zugang vorgestellt. 		Stefan Haller
11:15 -- 11:45 M. E.
Der kleiner Fermat und seine Beweismöglichkeiten

Abstrakt: In dem heutigen Vortrag wird neben dem geschichtlichen Hintergrund von Pierre de Fermat näher auf die Beweismethoden des kleinen Statz von Fermat eingegangen. Insgesamt kann dieser Satz durch vier unterschiedliche Beweisstile gezeigt und bewiesen werden. Es wird zwischen vollständiger Induktion, kombinatorischen Beweis, Beweis mittel Gruppentheorie und Beweis mittels Bijektivität unterschieden, wobei die letzteren zwei etwas abstraker sind. Deshalb erfolgt eine Erläuterung des Induktionsbeweises und dem kombinatorischen Beweis. Weiters wird auch auf ein Alltagsbeispiel zurückgegriffen um die Anwendung des kleinen fermatischen Satzes zu verdeutlichen. 		Andreas Ulovec
13:00 -- 13:30 M. W.
Beweisen mit trigonometrischen Methoden

Abstrakt: Im Vortrag wird das Thema "Beweisen mit trigonometrischen Methoden" am Beispiel des Satzes von Morley behandelt. Durch Dreiteilung der Innenwinkel eines Dreiecks ergeben sich von allen Eckpunkten aus zwei Teilungslinien. Bei Betrachtung dreier bestimmter Schnittpunkte der Teilungslinien erhält man ein Dreieck. Dieses wird als Morley-Dreieck bezeichnet. Die Aussage des Satzes von Morley ist, dass das Morley-Dreieck unabhängig von der Form des ursprünglichen Dreiecks stets gleichseitig ist. Ziel des Vortrags ist es, zwei verschiedene Beweise für den Satz von Morley zu erläutern. 		Franz Hofbauer
13:45 -- 14:15 R. H.
Anwendungen der Sätze von Menelaos und Satz von Ceva

Abstrakt: Meine Arbeit befasst sich mit verschiedenen Anwendungen der Sätze von Menelaos und Ceva. Teil der Arbeit sind nicht nur die Beweise der gerade genannten Sätze, sondern Sätze, die diese im Beweis verwenden wie der Satz von Monge, der Satz für die Polare eines Kreises, dem Satz von Desargues und dem Satz von Pascal, wobei vor allem die beiden letzten Sätze die wohl bekannteren sind. Es werden unter anderem auch diverse Anwendungsaufgaben behandelt. Der Satz von Menelaos liefert eine Bedingung dafür, dass drei Punkte, die auf den Dreiecksseiten beziehungsweise ihren Verlängerungen liegen, kollinear sind. Drei Punkte werden als kollinear bezeichnet, wenn sie auf einer Geraden liegen. Der Satz von Ceva macht hingegen eine geometrische Aussage über die Ecktransversalen eines Dreiecks, nämlich ob diese konkurrent sind. Wir nennen drei Geraden konkurrent, wenn sie einen Punkt gemeinsam haben oder parallel liegen. 		Franz Hofbauer
14:30 -- 15:00 V. D.
Kongruenzen und Anwendungen

Abstrakt: In der vorliegenden Arbeit geht es im Wesentlichen um das Gebiet der Kongruenzen und deren Anwendungen. Zuerst ist es nötig die Rechenregeln für ganze Zahlen zu diskutieren. Danach wird der größte gemeinsame Teiler, das kleinste gemeinsame Vielfache und die Primzahlen in ihren Grundzügen vorgestellt, diese sind zugleich essentiell für den Unterricht in der Schule. Auf vorhergehenden Kenntnissen basierend, widmet sich die Arbeit folglich den Kongruenzen. Dabei werden deren Rechenregeln und Eigenschaften behandelt. Für die bessere Verständlichkeit dieser Thematik werden zusätzlich mehrfach Beispiele eingebaut. Zuletzt wird noch ein Anwendungsbeispiel der Kongruenzen gezeigt. Der "ewige Kalender" beinhaltet eine Formel, mit Hilfe dieser es möglich ist, einen beliebigen Wochentag zu berechnen. Das ausschlaggebende dabei ist, dass sogar die Schaltjahre und weitere Details berücksichtigt werden. 		Christoph Baxa
15:15 -- 15:45 D. S.
Neusis Konstruktion

Abstrakt: In meinem Vortrag wird erklärt, was unter einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal zu verstehen ist und welche davon mit den beiden Werkzeugen lösbar sind und welche nicht. Um die unlösbaren Konstruktion - auch "die klassischen Probleme der Antike" genannt - dennoch zeigen zu können, wird die Einschiebung benötigt. Diese wird kurz erklärt und anhand der Winkeldreiteilung gezeigt. Zum Abschluss wird noch der Beweis der Würfelverdoppelung präsentiert mit einem anschließendem Beispiel zum Verständnis. 		Christoph Baxa

 

Vorträge am Freitag, dem 26. Jänner 2018
Uhrzeit VortragendeR Thema BetreuerIn
10:30 -- 11:00 L. B.
Das Basler Problem

Abstrakt: Das Basler Problem ist ein klassisches, berühmtes und wichtiges Problem der Mathematik, welches als erstes von Leonhard Euler gelöst werden konnte. Es beschreibt die Summe der Reziproken Quardatzahlen, welche den doch überraschenden Wert π2/6 liefert. In dieser Arbeit soll zuerst kurz die Geschichte dieses Problems erörtert werden und danach die dem Problem allgemein zu Grunde liegende Riemannsche Zeta Funktion präsentiert werden. Des Weiteren wird die Konvergenz der Reihe behandelt um schlussendlich verschiedenste Beweise des Basler Problems zu liefern. 		Stefan Haller
11:15 -- 11:45 T. B.
Gesetz der Großen Zahlen

Abstrakt: Das Ziel des Vortrages ist es, das Gesetz der großen Zahlen und dessen theoretischen Grundlagen zu erläutern. Begonnen wird mit der Fragestellung von Zufallsexperimenten mit zwei Möglichkeiten, wie beim Münzwurf beispielsweise. Das empirische Gesetz der großen Zahlen behauptet, dass sich die relativen Häufigkeiten eines bestimmten Ereignisses mit steigender Anzahl an Durchführungen genau der Wahrscheinlichkeit dieses Zufallsergebnisses annähert. Es wird auch die Tschebyscheff Ungleichung eingeführt und bewiesen, mit welcher der Beweis des schwachen Gesetzes der großen Zahlen geführt werden kann. Diese Ungleichung ist außerdem auch eine Methode der Abschätzung, jedoch eher ungeeignet hierfür, da sie nur eine grobe Schätzung wiedergibt. Schließlich wird das Gesetz der großen Zahlen behandelt, welches Jakob Bernoulli (1655 - 1705) zuerst formulierte. Begonnen wird mit einer vor allem intuitiv hilfreichen Darstellung, dem empirischen Gesetz der großen Zahlen. Zum Schluss werden zwei weitere schwache Gesetze der großen Zahlen vorgestellt, eines für Bernoulli Experimente und ein Verallgemeinertes für Zufallsvariablen. Bewiesen werden diese mithilfe der Tschebyscheff Ungleichung. 		Gernot Greschonig
13:00 -- 13:30 M. G.
Gefangenendilemma und Glücksspiele

Abstrakt: Bei meinem Thema handelt es sich um das Dilemma des Gefangenen. Zu Beginn des Vortrags werden Begriffe wie Spiel, Spieler, Strategie, Nullsummenspiele, und das Nash Gleichgewicht vorgestellt. Beim Nash Gleichgewicht handelt es sich um ein Strategiepaar, bei dem jeder Spieler seine optimale Strategie wählt. Danach wird das Gefangenendilemma und dessen Geschichte erwähnt. Man widmet sich anschließend dem Modell, das dem Gefangenendilemma gewisse Zahlen zuordnet. Es werden die diversen Spielmöglichkeiten erklärt und mögliche Strategien die man spielen kann beziehungsweise spielen sollte erklärt. Wir werden im Vortrag Strategien betrachten und ich werde den Beweis liefern, warum es im Dilemma des Gefangenen keine dominante Strategie gibt. Zum Abschluss meines Vortrags widme ich mich noch den Computer Turnieren von Axelrod und dem unendlich oft wiederholtem Gefangenendilemma. Bemerkenswertes über die Gewinnstrategie und welche Strategien gewinnen hätten können. Eventuell wird am Ende des Vortrags noch der Beweis zur kollektiven Stabilität von TIT FOR TAT geliefert. 		Peter Raith
13:45 -- 14:15 S. R.
Geometrische Wahrscheinlichkeit und ausgewählte Paradoxa der Stochastik

Abstrakt: Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der geometrischen Wahrscheinlichkeit und den Paradoxa in der Stochastik. Es wird ein Beispiel der geometrischen Wahrscheinlichkeit bis hin zu einer Auswahl an Paradoxa, welche geometrisch, beziehungsweise durch statistische Methoden gelöst werden, behandelt. Das Beispiel für die geometrische Wahrscheinlichkeit soll zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit beim Sportschießen in die Mitte (in den Zehner-Ring) zu treffen im Widerspruch zur Realität steht. Dieses Ergebnis wird anschließend mit einem Resultat eines Schießbewerbs verglichen. Danach werden das Paradoxon der Wahrscheinlichkeit 0, das Bertrandsche Pradoxon und das Wartezeitparadoxon genauer erörtert. 		Peter Raith
14:30 -- 15:00 H. F.
Spiel, Satz und Sieg - Die Modellierung eines Tennisspiels

Abstrakt: In der vorliegenden Bachelorarbeit werden mit Hilfe der Stochastik Vorhersagen über die Gewinnchancen in einem Tennismatch getroffen. Zunächst wird die besondere Zählweise des Tennismatchs erläutert, ehe ein Tennismatch allgemein modelliert wird, um so analytisch die Gewinnwahrscheinlichkeit für Game, ein Tie-Break, einen Satz mit und ohne Tie-Break, ein Match best of 3 und ein Match best of 5 herzuleiten. In weiterer Folge wird auf ein konkretes Beispiel Bezug genommen, bei welchem die zuvor ermittelten Gewinnwahrscheinlichkeiten anschaulich gemacht werden. Dabei stellt sich heraus, dass Tennis eine gerechte Sportart ist, in der bereits ein kleiner Vorteil in der Spielstärke die Chance ein Match zu gewinnen deutlich erhöht. 		Peter Raith
15:15 -- 15:45 S. M.
Turing Maschinen

Abstrakt: Um mit der Turing Maschine auf praktische Weise arbeiten zu können, beginnt das dritte Kapitel einerseits mit einer Funktionsdarstellung und andererseits mit einer umfassende Definition. Es wird die Arbeitsweise des Modells erklärt, die Turing Maschine definiert und mit einem praktischen Beispiel die theoretische Anleitung angreifbar gemacht. Dieses Beispiel umfasst dabei nicht nur die generelle Funktion einer Turing Maschine, nämlich eine Sprache zu prüfen, sondern geht sogar einen Schritt weiter und führt eine Berechnung aus, die für den weiteren Verlauf dieser Arbeit noch relevant werden soll. Ein Ziel des Vortrags ist, dass die Turing Maschine für Zuhörer und Zuhörerinnen vorstellbar wird, sodass diese selbst eine Turing Maschine entwerfen könnten, die eine Sprache einlesen und prüfen kann. 		Ulisse Stefanelli

 

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