Bachelorseminar für das Lehramt

Bachelorseminar für das Lehramt

Maria Charina und Stefan Haller

Wintersemester 2017/18, LVN: 250125

Vortragsprogramm für Gruppe 1 (Maria Charina, SR 12)

Vorträge am Freitag, dem 15. Dezember 2017
Uhrzeit	VortragendeR	Vortragstitel und Abstract	BetreuerIn
10:00 -- 10:30	E. B.	Titel: Galois-Theorie Abstract: Die Galois-Theorie ist eine komplexe Theorie in der Algebra, mit welcher man unter anderem Aussagen über die Auflösbarkeit von Gleichungen machen kann. Diese Arbeit setzt sich mit der Galois-Theorie auseinander und versucht diese in einer einfachen Form darzustellen. Einige notwendige gruppentheoretische Begriffe sowie Begriffe der Körpererweiterungen werden behandelt um damit die Bestimmung von Galois-Gruppen verständlich zu machen. Der Hauptsatz der Galois-Theorie wird im Abschluss dieser Arbeit dargelegt, bewiesen und auch praktisch an einem Beispiel gezeigt.	Bernhard Lamel
10:40 -- 11:10	--	Titel: -- Abstract: --	--
11:20 -- 11:50	--	Titel: -- Abstract: --	--
13:00 -- 13:30	M. H.	Titel: Google und der PageRank-Algorithmus Abstract: In dieser Arbeit soll die Frage behandelt werden, wie Google und andere Suchmaschinen, die von ihnen angezeigten Suchergebnisse ordnen. Es kommt der sogenannte PageRank-Algorithmus zum Einsatz. Der Algorithmus wurde seit seiner Erstveröffentlichung vielfach überarbeitet und verfeinert. Die vorliegende Arbeit beschreibt jedoch den ursprünglichen Algorithmus. Doch wie arbeitet der ursprüngliche Algorithmus? Er ordnet jeder Seite im Web eine „Beliebtheit“ zu. Diese Beliebtheit ermittelt sich aus dem relativen Anteil der Aufrufe der jeweiligen Seite. Dazu wird ein hypothetischer User durch das Web geschickt, der sich auf jeder Seite neu und zufällig entscheidet welchem der vorhandenen Links er zur nächsten Seite folgen will. Da es sich bei diesem Zufallsprozess um eine Markowkette handelt, kann der Weg des Users mittels einer Übergangsmatrix und einem Verteilungsvektor modelliert werden. Nach hinreichend vielen Surfschritten strebt dieser Verteilungsvektor gegen eine stationäre Verteilung. Diese Stationäre Entwicklung entspricht dem eindeutigen Eigenvektor der Übergangsmatrix zum Eigenwert 1, der so normiert wird, dass sich seine Komponenten zu 1 summieren. Die Existenz und die Eindeutigkeit dieses Vektors folgt aus den Eigenschaften von Markowketten, dem Satz von Frobenius und Folgerungen aus eben diesen.	Joachim Mahnkopf
13:40 -- 14:10	--	Titel: -- Abstract: --	--
14:20 -- 14:50	--	Titel: -- Abstract: --	--

Vorträge am Freitag, dem 12. Jänner 2018
Uhrzeit	VortragendeR	Vortragstitel und Abstract	BetreuerIn
10:00 -- 10:30	K. G.	Titel: Die Wellengleichung und ihre Lösung als Grundlage physikalischer Modellierung Abstract: Physikalische Modellierung ist ein Verfahren, bei dem bekannte physikalische Grundfunktionen und Eigenschaften eines komplexen Systems in mathematische Funktionen übersetzt und berechnet werden. Ziel meiner Bachelorarbeit und des Vortrags am 12. Jänner 2018 ist die Untersuchung der Wellengleichung als eine der Grundlagen musikalischer Vorgänge. Die Wellengleichung ist eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die die Ausbreitung von Wellen beschreibt. Im Vortrag soll ausgehend von der physikalischen Modellierung der Trompete erklärt werden, wie sich Schallwellen in einer zylindrischen Röhre ausbreiten. Anschließend wird das Hauptaugenmerk auf die Lösung der Wellengleichung gelegt. Die Eindeutigkeit dieser Lösung wird anhand des Produktansatzes von Daniel Bernoulli bewiesen.	Monika Dörfler
10:40 -- 11:10	K. S.	Titel: Kettenbrüche als approximativer Lösungsansatz für das Problem der Temperierung Abstract: In der vorliegenden Bachelorarbeit werden Kettenbrüche als eine approximative Lösung des aus dem Bereich der Musik stammenden Stimmungsproblems diskutiert. Dazu wird zunächst in einem kurzen Exkurs in den Bereich der musikalischen Akustik geklärt, was unter dem Stimmungsproblem zu verstehen ist, um anschließend die sich aus der Problemstellung ergebenden mathematischen Überlegungen, Sätze und Beweise näher auszuführen. Teil dessen sind neben dem Beweis für die Irrationalität der Zahl log₂(³⁄₂) auch die für die Arbeit relevanten Definitionen über Kettenbrüche sowie die Einführung und der Beweis eines Algorithmus zur Berechnung von Näherungsbrüchen. Abschließend wird mit der 53-Ton-Skala exemplarisch ein Stimmungssystem vorgestellt, dessen Toneinteilung sich auf die Verwendung von Kettenbrüchen stützt.	Monika Dörfler
11:20 -- 11:50	S. S.	Titel: Markow-Ketten Abstract: Diese Arbeit beschäftigt sich mit endlichen Markow Ketten, einem speziellen stochastischen Prozess. Anhand von Beispielen werden die verschiedenen Begriffe erarbeitet und Sätze eingeführt. Weiters wird anhand von verschiedenen Beispielen gezeigt wie sich die Zustandsverteilung einer Markow Kette verändert wenn unterschiedliche Startzustände gewählt werden. Diese Arbeit wird sich hauptsächlich mit der Matrizendarstellung und mit Prozessdiagrammen von Markow Ketten beschäftigen, andere Darstellungen werden eventuell kurz erwähnt, aber auf diese wird nicht näher eingegangen. Ebenfalls wird gezeigt, wie mit Hilfe von Gleichungssystemen die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, bestimmte Endzustände zu erreichen.	Peter Raith
13:00 -- 13:30	V. K.	Titel: Das Vierseit Abstract: Ein vollständiges Vierseit ist eine geometrische Figur, die aus vier Geraden in allgemeiner Lage besteht. Daher gilt, dass keine Gerade parallel zu einer der anderen liegt und keine drei von den vier Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Drei dieser Geraden sollen ein Dreieck formen. Die vierte Gerade wird so gewählt, dass diese zwei Dreiecksseiten und die Verlängerung der dritten Seite dieses Dreiecks schneidet. Durch diese Anordnung der vier Geraden entstehen vier verschieden große Dreiecke beziehungsweise ein Viereck im Inneren des Vierseits. Wird eine der vier Geraden entfernt, bleibt nur ein einziges Dreieck übrig. Alle vier Umkreise der vier Dreiecke des Vierseits gehen durch einen gemeinsamen Punkt - den Miquelpunkt. An dieser Stelle kommt nun die sogenannte Steinergerade1 des Vierseits ins Spiel. Auf dieser besonderen Gerade liegen alle Höhenschnittpunkte der vier Dreiecke des Vierseits sowie jene vier Punkte, die man durch Spiegeln des Miquelpunktes an den vier Geraden des Vierseits erhält. Die Umkreismittelpunkte der vier Dreiecke des Vierseits liegen gemeinsam mit dem zugehörigen Miquelpunkt auf einem Kreis. Das Vierseit besitzt außerdem drei Diagonalen. Die Diagonalen beziehungsweise deren Verlängerungen schneiden einander in drei Punkten und formen durch diese drei Schnittpunkte das Diagonaldreieck des Vierseits. Die Mittelpunkte der Diagonalen des Vierseits liegen auf einer Gerade, die senkrecht auf die Steinergerade des Vierseits steht. Der Umkreismittelpunkt des Diagonaldreiecks liegt ebenfalls auf der Steinergerade des Vierseits.	Franz Hofbauer
13:40 -- 14:10	K. W.	Titel: Das Monty Hall Problem Abstract: "Do you want to stay or switch?" Jahrzehntelang wird sie schon debattiert, die Antwort auf diese Frage. Kaum eine andere mathematische Denkaufgabe konnte die Gemüter so erhitzen wie das Monty Hall Problem. Die mathematisch korrekte Lösung dieser stochastischen Scheinparadoxie läuft dem gesunden Menschenverstand nämlich zuwider. Genau aus diesem Grund verfolge ich in meiner Arbeit das Ziel, verschiedene Erklärungsansätze für das Monty Hall Problem zu liefern und sie so weit herunterzubrechen, dass die für einen Türwechsel plädierende ⅔-Lösung möglichst vielen Lesern/innen verständlich wird. Abschließen wird die Arbeit mit einigen Variationen des Monty Hall Problems.	Peter Raith
14:20 -- 14:50	A. S.	Titel: Das Nash-Gleichgewicht Abstract: Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Nash-Gleichgewicht, einem Gebiet der Spieltheorie, das großen Einfluss in wirtschaftswissenschaftlichen Bereichen besitzt. Ein Nash-Gleichgewicht kann dadurch beschrieben werden, dass kein Teilnehmer des Spieles sein Ergebnis durch Änderung seiner Strategie verbessern kann, wenn die anderen Spieler an ihrer gewählten Strategie festhalten. Um das Nash-Gleichgewicht mathematisch erkären zu können, werden zuerst zwei Themen, das Zwei-Personen-Nullsummenspiel und die Maximin-Theorie von John von Neumann, ausgearbeitet und einige Begriffe definiert, welche im Vortrag präsentiert werden. In späteren Teilen der Arbeit wird der Existenzbeweis des Nash-Gleichgewichts durchgeführt, die Berechnung erarbeitet, Verfeinerungen des Gleichgewichts präsentiert und Beispiele geliefert. Abschließend wird kurz präsentiert, wie dieses Thema didaktisch im Unterricht angeschnitten beziehungsweise erarbeitet werden kann.	Peter Raith

Vorträge am Freitag, dem 19. Jänner 2018
Uhrzeit	VortragendeR	Vortragstitel und Abstract	BetreuerIn
10:00 -- 10:30	M. J.	Titel: Spieltheorie Abstract: "Wie kommt es zu einem kooperativen Verhalten?" Mit dieser Frage beschäftigt sich die Spieltheorie, die ich in meiner Bachelorarbeit genauer analysieren möchte. Zu Beginn werde ich definieren, worum es sich bei der Spieltheorie genau handelt, wer die Begründer bzw. Entwickler der Spieltheorie sind und wo sich Spieltheorie überall im "wahren Leben" einsetzen lässt. Des Weiteren erkläre ich die Spieltheorie anhand eines Beispiels – dem Gefangenendilemma – wo folglich die Payoff-Matrix vorgestellt wird. Im dritten Kapitel werden die wesentlichsten mathematischen Definitionen zur Theorie eingeführt. Abschließend werden noch Taktiken bei wiederholten Spielrunden, ein Vergleich zwischen zwei konträren Strategien sowie die "Axelrod’s tournaments" präsentiert.	Joachim Hermisson
10:40 -- 11:10	K. M.	Titel: Der Arbelos und die Archimedeskreise Abstract: Diese Arbeit handelt von dem Arbelos und den Archimedeskreisen. Der Arbelos ist jene Fläche, die durch das Ausschneiden zweier Halbkreise mit Radius r₁, r₂ aus einem größeren Halbkreis mit Radius r entsteht. Dabei gilt: r = r₁ + r₂. In den Arbelos und in die restliche Grundfigur können nun bestimmte Kreise eingeschrieben werden, die alle den selben Radius (r₁r₂)/(r₁+r₂) haben. Solche Kreise nennt man Archimedeskreise. In dieser Arbeit wird für eine kleine Auswahl an Archimedeskreisen bewiesen, dass diese alle den Radius (r₁r₂)/(r₁+r₂) haben. Weiters wird auch der Inkreis des Arbelos thematisiert.	Franz Hofbauer
11:20 -- 11:50	A. L.	Titel: Geometrische Beweise mit komplexen Zahlen Abstract: Diese Arbeit handelt vom Beweisen geometrischer Sätze und Fragestellungen mit Hilfe der komplexen Zahlen. In der Einleitung stehen die, für diese Arbeit relevanten, Definitionen, Sätze und deren Beweise. Ziel dieser Arbeit ist es die mögliche Vereinfachung einiger geometrischer Beweise durch Anwendung der komplexen Zahlen darzustellen.	Franz Hofbauer
13:00 -- 13:30	V. R.	Titel: Symmetriegruppen mit Schwerpunkt auf Diedergruppen Abstract: In meiner Bachelorarbeit geht es um Symmetriegruppen mit dem Schwerpunkt auf die Permutationen, sowie die Diedergruppen. Zuerst muss dafür der allgemeine Gruppenbegriff eingeführt werden. Es folgen einige Folgerungen zu dem Gruppenbegriff. Anhand von einigen Beispielen wird dieser deutlich gemacht. Restklassengruppen, sowie zyklische Gruppen werden auch definiert und verdeutlicht. Anschließend kommt der Hauptteil meiner Arbeit. Es werden die Symmetriegruppen definiert. Ich betrachte in meiner Bachelorarbeit die Symmetriegruppen von Seiten der Permutationen. Man kann diese nämlich auch von Seiten der Isometrien betrachten, dies ist die Arbeit von einer Kollegin. Der zweite Schwerpunkt meiner Arbeit liegt bei den Diedergruppen. Diese werden definiert und es werden Beispiele genannt. Zuletzt werde ich mich noch einer Anwendung der Gruppentheorie widmen, dem Verhoeff Algorithmus.	Christoph Baxa
13:40 -- 14:10	L. H.	Titel: Symmetriegruppen mit Schwerpunkt Isometrien der Ebene Abstract: Meine Bachelorarbeit behandelt Symmetriegruppen mit Schwerpunkt Isometrien der Ebene. Einleitend müssen dazu der Gruppenbegriff, einfache Folgerungen daraus sowie weitere Grundlagen der Gruppentheorie geklärt werden. Im Weiteren kann man bereits auf Symmetriegruppen eingehen, welche anhand von Beispielen dargebracht werden sollen. Darauffolgend kommt der wesentliche Teil der Arbeit. Da man Symmetriegruppen von verschiedenen Blickwinkeln betrachten kann, nämlich von Seiten der Permutationen und von Seiten der Isometrien, haben eine Kollegin und ich dies aufgeteilt. In meiner Arbeit liegt der Schwerpunkt auf den Isometrien der Ebene. Dazu müssen zuerst einige Begriffe definiert werden, welche im Folgenden eine wesentliche Rolle spielen. Ziel der Arbeit ist es, zu zeigen, dass nur gewisse Isometrien existieren.	Christoph Baxa
14:20 -- 14:50	L. M.	Titel: Der Satz von Feuerbach Abstract: Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Satz von Feuerbach. Dies ist ein Satz aus der Geometrie, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Er dreht sich um eine bestimmte Eigenschaft des Feuerbachkreises in Zusammenhang mit dem Dreieck. Der Feuerbachkreis (auch Neun-Punkte-Kreis genannt) ist dabei ein Kreis, auf dem neun besondere Punkte des Dreiecks liegen, nämlich die drei Höhenfußpunkte, die drei Seitenmittelpunkte und die drei Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte. Der Satz von Feuerbach besagt nun, dass der Feuerbachkreis den Inkreis von innen und die drei Ankreise von außen berührt. In meiner Arbeit werde ich vier verschiedene Beweise für den Satz von Feuerbach ausarbeiten. Dabei wird es sich um einen Beweis mit dem Dreieck in Standardlage, einen Beweis mithilfe koordinatenfreier Vektoren, einen synthetischen Beweis mithilfe des Peripheriewinkelsatzes und einen trigonometrischen Beweis handeln.	Franz Hofbauer

Vorträge am Freitag, dem 26. Jänner 2018
Uhrzeit	VortragendeR	Vortragstitel und Abstract	BetreuerIn
10:00 -- 10:30	--	Titel: -- Abstract: --	--
10:40 -- 11:10	R. N.	Titel: Verschlüsselungsverfahren: Der RSA-Algorithmus Abstract: Die vorliegende Arbeit behandelt den RSA-Algorithmus, ein Verfahren der Public-Key-Kryptografie zur Verschlüsselung und digitalen Signatur. Nach einer kurzen Einleitung im Hinblick auf die heutige Situation, werden Probleme symmetrischer Verschlüsselungsverfahren und das Prinzip der Public-Key-Kryptografie beschrieben. Neben einem Überblick über den RSA-Algorithmus werden dann grundlegende Begriffe der Zahlentheorie erläutert, wie größter gemeinsamer Teiler, Eulersche Phi-Funktion, Euklidischer Algorithmus, Vielfachsummendarstellung oder chinesischer Restsatz. Danach folgt ein vollständiges Beispiel und ein Abschnitt über die Sicherheit des RSA-Algorithmus.	Joachim Mahnkopf
11:20 -- 11:50	K. D.	Titel: Der RSA-Algorithmus Abstract: Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem RSA-Algorithmus. Im Gegensatz zu einem der bekanntesten (und wahrscheinlich unsichersten) Verschlüsselungsverfahren, der Cäsar-Verschlüsselung, handelt es sich beim RSA-Algorithmus um einen Vertreter der asymmetrischen Verschlüsselungsverfahren. Im Unterschied zu den symmetrischen Verschlüsselungsverfahren wie der Cäsar Verschlüsselung, bei der sowohl Sender als auch Empfänger einen geheimen Ver-bzw. Entschlüsselungscode besitzen, arbeitet der RSA-Algorithmus mit einem öffentlichen und einem geheimen Schlüssel. Das bedeutet, dass jeder mittels öffentlichem Schlüssel codieren, aber nur der Besitzer des geheimen Schlüssels decodieren kann. Wenngleich der RSA-Algorithmus bislang als ungebrochen gilt, gibt es immer wieder Berichte von erfolgreichen Hackerangriffen. Diese möglichen Angriffsflächen des RSA-Algorithmus soll in meiner Arbeit ebenfalls Raum gegeben und gezeigt werden, dass entweder der Faktor Mensch oder der „Zufall“ schuld an den Hacks war.	Joachim Mahnkopf
13:00 -- 13:30	P. L.	Titel: Integralgleichungen und Anwendungen Abstract: Im Allgemeinen kann man Differentialgleichungen nicht explizit lösen und deshalb sind Abschätzungen sehr wichtig. Integralgleichungen spielen auch in Fragen wie Eindeutigkeit, globale Existenz bzw. Stabilität der Lösungen eine wichtige Rolle. Auf Grund der Wichtigkeit dieser Abschätzungen, haben sich verschiedenste Personen damit beschäftigt und kamen zu unterschiedlichen Ergebnissen. Ich möchte nun ein paar grundlegende lineare und nicht-lineare Integralungleichungen vorstellen. Bei der Präsentation werde ich auf die Herren Gronwall, Bellman und Bihari eingehen. Im Speziellen auf eine überarbeitete Version der Gronwall-Ungleichung durch Bellman, die Gronwall-Bellman Ungleichung (1943) und eine nicht-lineare Verallgemeinerung der Gronwall–Bellman Ungleichung bewiesen durch Bihari.	Olivia Constantin
13:40 -- 14:10	M. G.	Titel: Sphärische Geometrie und ihre Anwendungsmöglichkeiten in den Bereichen der Geographie und der Navigation Abstract: Unter der Annahme, dass die Erde eine Kugel mit dem Radius von circa 6370 km ist, kann man viele geographische Fragestellungen klären, indem man Geometrie auf ihrer Kugeloberfläche betreibt. Wir werden uns im Rahmen dieses Vortrages einige sehr grundlegende Aussagen dieser sphärischen Geometrie genauer ansehen und dann in mit Hilfe ihrer Sätze eine ganz konkrete Fragestellung zu lösen versuchen: "Wie weit ist Wien von New York City entfernt und wie finde ich den kürzesten Weg dorthin überhaupt?"	Karl Auinger
14:20 -- 14:50	D. M.	Titel: Enigma Abstract: Das Thema dieser Bachelorarbeit ist die deutsche Chiffriermaschine Enigma. Die mathematische Beschreibung und die kryptographische Komplexität derselben werden beschrieben, und warum Kryptoanalytiker es schwer hatten, ihre Chiffre zu brechen. Im Folgenden geht es um den ersten erfolgreichen Angriff auf die Chiffremaschine und um das Prinzip des Angriffs auf Enigma.	Gerald Teschl

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