Prüfungen:

Inhalt:

• Jordanscher Kurvensatz (IV.12.22 bis IV.12.36 in [1]).
• Hurewicz Homomorphismus (Abschnitt IV.11 in [1]).
• singuläre Homologie des reellen projektiven Raums (Proposition IV.9.17 in [1]).
• Höhere Homotopiegruppen, relative Homotopiegruppen, lange exakte Sequenz eines Paares (Kapitel 4.1, Seiten 339 - 346 in [2]).
• CW Komplexe (Propositionen A.1, A.2 und Theorem A.6 in [2]).
• Satz von Whitehead (Theorem 4.5, Lemma 4.6 und 4.7 in [2]).
• Zelluläre Approximation von Abbildungen (Theorem 4.8, Corollary 4.9, Corollary 4.12 in [2]). Abweichend von der Darstellung in [2] wurde das technische Lemma 4.10 durch ein analoges Resultat ersetzt, indem stetige Abbildungen mittels Faltung durch glatte approximiert werden, und der Satz von Sard Anwendung fand.
• CW Approximation von Räumen (Proposition 4.13, Corollary 4.16, Proposition 4.18, Corollary 4.19 in[2])
• Schwache Homotopieäquivalenzen induzieren Isomorphismen in singulärer Homologie und auf Menge der Homotopieklassen [X,-] für alle CW Räume X (Proposition 4.21 und 4.22 in [2]).
• Exzision (Theorem 4.23, Corollary 4.24, Proposition 4.28, Corollary 4.25 in [2])
• Existenz und Eindeutigkeit der Eilenberg-MacLane Räume (Example 4.26, Proposition 4.30 in [2])
• Satz von Hurewicz (Theorem 4.32, Corollary 4.33, Proposition 4.36, Theorem 4.37 in [2]). In der Vorlesung sind wir etwas von [2] abgewichen, insbesondere haben wir Theorem 4.37 nur unter der Voraussetzung, dass A einfach zusammenhängend ist, gezeigt.
• Serre Faserungen und lange exakte Sequenz der Homotopiegruppen (Theorem 4.41 in [2]).
• Lokal triviale Bündel sind Serre Faserungen (Kriterium für Serre Faserung in [4], siehe auch Proposition 4.48 in [2]).
• Hopf Faserungen (Examples 4.44 - 4.47, 4.50, 4.51, 4.53 in [2])
• Bott Periodizität ohne Beweis (Example 4.55 in [2])
• (stabiler) J-Homomorphismus ohne Beweis (einige Absätze ab 4.1 in [5]).
• Axiomensystem für (verallgemeinerte) unreduzierte Homologietheorie auf CW Paaren (vgl. Abschnitt 13.1 in [3])
• Axiomensysten für (verallgemeinerte) reduzierte Homologietheorie auf CW Räumen mit Basispunkt (vgl. Abschnitt 14.3 in [3] oder Kapitel 2.3 in [2])
• Eine (verallgemeinerte) unreduzierte Homologietheorie für CW Paare bestimmt eine (verallgemeinerte) reduzierte Homologietheorie für CW Räume mit Basispunkt und umgekehrt (Abschnitt 14.4 in [3]).
• Axiomensystem für (verallgemeinerte) unreduzierte Homologietheorie auf Paaren beliebiger Räumen (Abschnitt 13.1 in [3])
• Hat das Paar (X,A) die HomotopyExtensionProperty, dann induziert Quotientenabbildung Isomorphismus E_q(X,A)=E_q(X/A,*) für jede (verallgemeinerte) unreduzierte Homologietheorie. (Abschnitt 14.2 in [3])
• Eine (verallgemeinerte) unreduzierte Homologietheorie auf CW Paaren bestimmt eine (verallgemeinerte) unreduzierte Homologietheorie auf Paaren beliebiger Räume und umgekehrt (Abschnitt 13.1 in [3]).
• natürliche lange exakte Mayer-Vietoris Sequenz für (verallgemeinerte) Homologietheorie. (siehe Abschnitt 14.5 in [3])
• Singuläre Homologie mit Koeffizienen in einer abelschen Gruppe G bildet gewöhnliche Homologietheorie mit Koeffizienten G.
• Torsionsprodukt abelscher Gruppen. (Abschnitt 3A inkl. Proposition 3A.5 in [2], oder Abschnitte V.5 und V.6 in [6], oder allgemeiner in [7].)
• Universelles Koeffiziententheorem (Theorem 3A.3, Corollary 3A.4, Corollary 3A.7 und Exercise 3A.1 in [2])
• Homologie von Sⁿ, (Dⁿ,S^n-1), CPⁿ, HPⁿ mit Koeffizienten in beliebiger abelschen Gruppe, sowie H_q(RPⁿ;Z₂).
• natürlicher Bockstein-Homomorphismus H_q(X;Z_m)-->H_q-1(X;Z_m) assoziiert mit kurzer exakter Sequenz: 0-->Z_m-->Z_m²-->Z_m-->0
• natürlicher Bockstein-Homomorphismus H_q(X;Z_m)-->H_q-1(X;Z) assoziiert mit kurzer exakter Sequenz: 0-->Z-->Z-->Z_m-->0
• stabile Homotopiegruppen bilden verallgemeinerte reduzierte Homologietheorie (Proposition 4F.1 in [2])
• Präspektrum definiert verallgemeinerte Homologietheorie (Proposition 4F.2 in [2])
• zelluläre Homologie (Lemma 2.34, Theorem 2.35 bis inkl. Seite 241, Proposition 4F.2 in [2])
• Bordismen als Homologietheorie (Abschnitt 21.1 in [4]).
• Fundamentalklasse einer kompakten (orientierten) Mannigfaltigkeiten (mit Rand) (Chapter 16 in [4] oder Chapter 3.3 bis inkl. Proposition 3.29 in [2])
• Pontryagin--Thom Konstruktion (Chapter 7 in [8], Section 21.2 in [4], Sections 25.1&25.2 in [3])
• Singuläre Kohomologie und universelles Koeffiziententheorem (Chapter 3.1 in [2])
• Cup Produkt (Lemma 3.6, Proposition 3.10, and Example 3.11 in [2])
• Kohomologiering der projektiven Räume (Theorem 3.12 in [2])
• Borsuk Ulam Theorem (Section 18.4 in [3])

Literatur:

[1] Vorlesungsskriptum des letzten Semesters.
[2] Alan Hatcher, Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002. Online erhältlich: http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
[3] J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology. Chicago Lectures in Mathematics Series, 1999.
[4] Tammo tom Dieck, Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics, 2008.
[5] Alan Hatcher, Vector Bundles & K-Theory. Book in preparation. Online erhältlich unter http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html
[6] Saunders Mac Lane, Homology. Springer, 1963.
[7] Hilton Stammbach, A course in homological algebra. Graduate Texts in Mathematics 4. Springer 1971.
[8] Morris W. Hirsch, Differential Topology. Graduate Texts in Mathematics 33, Springer, 1976.