Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B44i (2001), 21 pp.
Hoang Ngoc Minh, Gérard Jacob, Michel Petitot and Nour Eddine
Oussous
De l'algèbre des \zeta de Riemann multivariées
à l'algèbre des \zeta de Hurwitz multivariées
English Abstract.
The theory of noncommutative rational power series allows to express
as iterated integrals some generating series associated to
polylogarithms
and polyzetas, also called MZV's
(multiple zeta values: a generalization of the
Riemann
\zeta function). We introduce the Hurwitz polyzetas,
as a multivalued generalization of the classical
Hurwitz \zeta function.
They are in fact generating series
of the classical polyzetas in commuting variables.
Based on the shuffle product of noncommutative rational series,
explicit formulae are given for computing the product of these
generating series. We define also another shuffle product for the
Hurwitz polyzetas. This structure allows us to
produce a new algorithm for computing the
coloured polyzetas relations,
by mean of Dirichlet generating series associated to the
periodic sequences of numbers. Concerning the regularization
of divergent polyzetas, we give explicit syntaxic formulae
based on the combinatorics of words. As application we
compute the Arakawa-Kaneko integrals
in terms of polyzetas.
Résumé.
La théorie des séries rationnelles en variables non commutatives
permet
d'exprimer sous forme d'intégrales itérées certaines séries
génératrices associées aux polylogarithmes et aux polyzêtas,
ou MZV's
(multiple zeta values : une généralisation de la fonction
\zeta
de Riemann). Nous introduisons les polyzêtas de Hurwitz,
qui généralisent la fonction \zeta de Hurwitz
classique. Ils apparaissent comme des séries génératrices
des polyzêtas en variables commutatives.
En nous basant sur le produit de mélange des séries rationnelles,
nous donnons des formules explicites pour calculer
les produits de ces séries génératrices.
Nous explicitons également un autre produit de mélange
pour les polyzêtas de Hurwitz.
Cette structure permet d'obtenir un nouvel
algorithme de génération des relations entre les polyzêtas
colorés par l'intermédiaire des séries génératrices de
Dirichlet associées aux suites périodiques de nombres.
En ce qui concerne la régularisation des polyzêtas
divergents, nous obtenons des formules syntaxiques explicites
utilisant la combinatoire des mots.
En application, nous calculons
les intégrales d'Arakawa-Kaneko en termes de polyzêtas.
Received: January 22, 2001; Revised Version: August 27, 2001,
Accepted: November 22, 2001; Final Version: December 21, 2001.
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