English abstract

Курс: Эллиптические модулярные формы и их применения
Лектор: Галкин Сергей Сергеевич
Ассистент: Курносов Никон Михайлович
Место: улица Вавилова, дом 7, комната 1001 (10 этаж)
Время: среда, 18:30-19:50
Видео: видеозаписи лекций и семинаров, видео курса В.Гриценко про формы Якоби.
ПО: SAGE, особенно пригодится следующий функционал: Modular Forms, Arithmetic Subgroups of SL(2,Z), General Hecke Algebras and Hecke Modules, L-functions, Miscellaneous Modular-Form-Related Modules.

Расписание и краткое содержание:
Jun 17: Семинар 5: представление числа в виде суммы 2 или 4 квадратов (Богдан Завьялов), экзотическое умножение модулярных форм (Владимир Гавран), Mirror Moonshine and discovering new Hyperkahler manifolds
Jun 10: Практическое занятие (Никон Курносов)
Jun 3: Семинар 4: явная теория полей классов для мнимых квадратичных полей (Дмитрий Швецов), иррациональность zeta(3) (Андрей Коновалов)
May 27: Семинар 3: cравнения для tau(n) (Даша Алексеева), перечисление разветвленных накрытий тора (Марина Дудина),
May 20: Семинар 2: решетки и тета-функции (Артем Калмыков), можно ли услышать форму барабана (Евгений Маршаков), классификация решеток Нимейера (Евгений Ефименко)
May 13: Контрольная
May 6: майские каникулы, самостоятельная работа (решение экзамена и домашних заданий)
Apr 29: Лекция 10: комплексное умножение, формула Кронекера-Гурвица, норма разности значений j-инвариантов в CM точках, и ее простые делители (Никон Курносов)
Apr 22: Лекция 9: комплексное умножение, алгебраичность сингулярных модулей
Apr 15: Лекция 8: производные модулярных форм, дифференцирование Серра, кольца почти голоморфных модулярных форм и квази-модулярных форм, скобки Ранкина-Коэна, ряды Коэна-Кузнецова, модулярные формы f(z) веса k удовлетворяют линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям степени k+1 относительно модуляной функции t(z), Hauptmodul, уравнение Пикара-Фукса, связность Гаусса-Манина
Apr 8: Лекция 7: Операторы Гекке и кольца Гекке (Валерий Гриценко).
Apr 1: Лекция 6: Целочисленность константы Рамануджана exp(Pi sqrt(163)) (первоапрельская шутка). Инволюция Фрикке, инволюции Аткина-Ленера, группы Gamma_0(N)+N и Gamma_0(N)+, нормализатор Gamma_0(N) в PSL(2,R). Теорема Мейсона-Стозерса, теорема Римана-Гурвица, гипотеза abc, дискриминант и кондуктор эллиптической кривой, гипотеза (неравенство) Шпиро, кривые Фрея, теорема о модулярности (гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля), функции Белого и детские рисунки Гротендика, теорема Белого, модулярные детские рисунки. Рациональные точки на проективных кривых: коники и рациональная параметризация; эллиптические кривые, теорема Морделла, ранг и кручение, гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера; кривые большего рода над числовыми полями и расслоения на кривые над кривыми, теорема Фалтингса (гипотеза Морделла), теорема Аракелова (гипотеза Шафаревича), трюк Паршина.
Mar 25: Семинар 1: конечность числа классов для мнимых квадратичных полей (Александр Петров); анонс курса по формам Якоби (Валерий Гриценко)
Mar 18: Лекция 5: группы, действия, однородные пространства, симметрические пространства, факторы автоморфности, линейные расслоения, линеаризации, теория Галуа для накрытий, характеры Дирихле как линейные расслоения; тета-функция Якоби, решетки и целые квадратичные формы, тета-функции решеток, применения, матрица Картана, решетки ADE, четные унимодулярные решетки, решетка E_8, решетка Лича и решетки Нимейера, код Голея.
Mar 11: Лекция 4: ряды Эйзенштейна с характерами Дирихле и их коэффициенты, ряд E_2, дискриминант и тау-функция Рамануджана, эта-функция Дедекинда.
Mar 4: Лекция 3: ряды Эйзенштейна как ряды Пуанкаре, кольцо модулярных форм уровня 1 свободно порождено E_4 и E_6
Feb 26: Лекция 2.5: cusps and elliptic points, congruence subgroups, dimension bounds
Feb 25: Лекция 2: факторы автоморфности и линейные расслоения, конечномерность пространства модулярных форм, оценка на размерность, ряды Эйзенштейна
Feb 12: Лекция 1.5: Riemann uniformisation theorem, elliptic curves, Teichmuller spaces and moduli spaces, automorphy factors and line bundles, cusp modular forms of weight two are differential forms
Feb 11: Лекция 1: верхняя полуплоскость и PSL(2,R), теорема Римана об униформизации и классификация римановых поверхностей, решетки и эллиптические кривые, пространство модулей и Тейхмюллера, строение и фундаментальная область PSL(2,Z), параболические формы веса два это голоморфные дифференциалы
Jan 29: Лекция 0.5: flat tori, lattices, upper half-plane, modular group, fundamental domain, and modular functions

Программа: Курс мог бы быть полезен всем, кто интересуется арифметикой и геометрией.
Не повредят знания основ алгебры, комплексного анализа (формулы Коши) и умение дифференцировать.

Чтение:

Домашние задания: решайте задания из курса Иосифа Бернштейна: первое, третье, второе.

Доклады: Присылайте темы, по которым вы хотели бы сделать доклад (например, любую из тем, отмеченных знаком пик в книжке Цагира, кроме перечисленных).