Lehrveranstaltungsnummer: 250021
Lehrveranstaltungstyp: VO
Stundenzahl: 5

Mit reeller Analysis ist jenes Teilgebiet der Mathematik gemeint, das sich im Wesentlichen mit Funktionen auf den reellen Zahlen beschäftigt (die komplexe Analysis beschäftigt sich mit Funktionen auf den komplexen Zahlen). Im Allgemeinen sind dabei auch mehrdimensionale Funktionen zugelassen. Insbesondere wird die Differenzialrechnung und Integralrechnung behandelt. Viele Fragestellungen aus mathematischen Anwendungen führen zu Problemen, die mit Hilfe der Analysis behandelt werden können (Extremwertaufgaben, Volumen, Trägheitsmomente). Diese Vorlesung soll eine fundierte theoretische Grundlage der reellen Analysis geben. Weiters sollen Methoden (sowie das dafür notwendige Wissen) aus der reellen Analysis bereitgestellt werden, die in der Mathematik und/oder in den Anwendungen benötigt werden.

In der komplexen Analysis wird versucht die aus der reellen Analysis bekannte Theorie der Differenzialrechnung auf die komplexen Zahlen zu übertragen. Diese Theorie erweist sich als sehr fruchtbar. Komplex differenzierbare Funktionen haben viele schöne Eigenschaften, die für reell differenzierbare Funktionen im Allgemeinen nicht gelten. Durch diese Theorie bietet sich dann eine neue Sichtweise der reellen Analysis, und viele Phänomene der reellen Analysis lassen sich dadurch besser verstehen.

Die Vorlesung beschäftigt sich mit den reellen und komplexen Zahlen, und den Eigenschaften von Funktionen auf den reellen und komplexen Zahlen. Nach einer Einführung über metrische Räume wird die Differenzierbarkeit mehrdimensionaler Funktionen untersucht. Dann werden mehrdimensionale Integrale behandelt. Weiters werden Kurvenintegrale und Oberflächenintegrale untersucht, und die klassischen Integralsätze behandelt. Schließlich wird die komplexe Analysis besprochen.

Zur Vertiefung des in der Vorlesung gebrachten Stoffes ist der Besuch des Proseminars unerlässlich. Unterstützung erfolgt durch die TutorInnen Renate Angrosch, Isis Kowarik und Angela Stachelberger.

Prüfungen:

Die Prüfungen zur Vorlesung bestanden aus einem schriftlichen und einem mündlichen Teil. Ich habe ausdrücklich darauf hingewiesen, dass die Vorlesung im Wintersemester 2009/2010 von Franz Hofbauer gehalten wurde und im Wintersemester 2010/2011 von Christoph Baxa gehalten wurde, und habe alle, die bis dahin bei mir die Prüfung noch nicht abgelegt oder noch nicht positiv abgelegt hatten, gebeten, sich zu überlegen eine dieser Vorlesungen zu besuchen.

Das erste schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 30. Jänner 2009, um 16.00 im Hörsaal 3 (UZA 2) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 15. April 2010 abzulegen gewesen.

Das zweite schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 20. März 2009, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 15. April 2010 abzulegen gewesen.

Das dritte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 8. Mai 2009, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 15. April 2010 abzulegen gewesen.

Das vierte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 5. Juni 2009, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 15. April 2010 abzulegen gewesen.

Das fünfte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 30. Oktober 2009, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 15. April 2010 abzulegen gewesen.

Das sechste schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 27. November 2009, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 15. April 2010 abzulegen gewesen.

Das siebente schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 15. Jänner 2010, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 29. April 2010 abzulegen gewesen.

Das achte und vorletzte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 23. April 2010, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 15. Juni 2010 abzulegen gewesen.

Das neunte und letzte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 29. Oktober 2010, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 15. Dezember 2010 abzulegen gewesen.

Literaturhinweise:

Es gibt sehr viele Bücher zur Analysis. Nachdem in dieser Vorlesung zwei verschiedene Gebiete angeschnitten werden, gibt es aber kaum Bücher, die den gesamten Vorlesungsstoff abdecken. Bei den Lehrbüchern zur reellen oder komplexen Analysis hängt es oft vom persönlichen Geschmack der/des LeserIn ab, ob ein bestimmtes Buch ihr/ihm gefällt oder nicht. Das unten angesprochene zweibändige Werk von Heuser gilt als Standardlehrbuch der reellen Analysis im deutschsprachigen Raum — es kann als gut, jedoch auch sehr umfangreich bezeichnet werden.

Die folgende Liste ist als eine Auswahl anzusehen:

• L. V. Ahlfors, Complex analysis, McGraw-Hill, New York, 1979 (3^rd edition).
• C. Blatter, Analysis 1, Springer, Berlin, 1980 (3. Auflage).
  C. Blatter, Analysis 2, Springer, Berlin, 1979 (2. Auflage).
  C. Blatter, Analysis 3, Springer, Berlin, 1981 (2. Auflage).
• J. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, New York, 1995 (2^nd edition, 7^th printing).
• H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Teubner, Wiesbaden, 2006 (16. Auflage).
  H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2, Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2008 (14. Auflage).
• K. Jänich, Funktionentheorie, Springer-Verlag, Berlin, 2004 (6. Auflage).
• K. Königsberger, Analysis 1, Springer, Berlin, 2004 (6. Auflage).
  K. Königsberger, Analysis 2, Springer, Berlin, 2004 (5. Auflage).
• S. Lang, Real Analysis, Addison-Wesley, Reading, 1983 (2^nd edition).
• W. Rudin, Analysis, Oldenbourg, München, 2005 (3. Auflage).
• W. Walter, Analysis 1, Springer, Berlin, 2004 (7. Auflage).
  W. Walter, Analysis 2, Springer, Berlin, 2002 (5. Auflage).