Encoding cp1251
Back to Miscelania
Back to Yury Neretin homepage

Эйлер (1707-1783)

По поводу 150-летия со дня смерти

Н.Н.Лузин

Кому не знакомо имя Эйлера? Кто еще на школьной скамье не привык смотреть на имя Эйлера в созвездии имен Гюйгенса, Ферма, Лейбница, Ньютона, Бернулли, Д'Аламбера? Но мало кто из ученых знает, насколько значительна была стихийная творческая сила этого человека, сближающая его с такими людьми XVI в., каковы были Леонардо да Винчи и Микельанджело. И мало кто даже из математиков знает, насколько крепкими связями соединены они и теперь с трудами Эйлера и с какой мощью тяготеет над ними даже в настоящий момент мысль Эйлера. Задача изобразить прекрасную, полную непрекращающегося творческого усилия жизнь Эйлера далеко выступает за пределы того скромного очерка, который мы можем здесь предложить вниманию читателя.

1. Детство. Первое соприкосновение с математикой. Леонард Эйлер (Leonard Euler) — один из величайших математиков XVIII в.— родился в 1707 г. в Швейцарии, в Базеле. Отец его был пастором местечка Рихен, лежащего вблизи Базеля; мать была родом из семьи, давшей стране несколько ученых. Сельская жизнь в Рихене, простые нравы и привязанность к родителям сложили у Эйлера простой характер, обеспечили ему долгую жизнь и легли в основу его крепкого сложения, сломить которое не было дано ни его тяжелым болезням, ни даже его изумительной работоспособности.

Отец Эйлера любил математику, которую в свое время изучал под руководством Якова Бернулли. Намечая для своего сына будущность по духовной линииf он счел полезным преподавать ему математику, так как чувствовал на себе ее влияние на развитие интеллекта и желал, в целях успешности предполагавшейся карьеры, дать мышлению сына надлежащую тонкость. Отец никак не предполагал, что то, что он рассматривал как поучительное развлечение, в свое время станет для сына предметом напряженнейшей работы, близкой к исступлению, и решительно отклонит его от намеченного отцом жизненного пути. К счастью, Эйлер имел слишком уравновешенную натуру и не обнаруживал никаких исключительных талантов в математических науках. Поэтому посеянные семена в уме юного геометра зрели скрыто и пускали там незаметные ни для кого глубокие корни.

* «Социалистическая реконструкция и наука», 1933, 8, стр. 3—24.352 Н. Н. Л У 3 И н

Одной из характерных черт природы Эйлера было то, что он не мог творить мимоходом; только отдаваясь с исступленною всепоглощающею страстью какому-нибудь изучению, его гений обнаруживал свою мощь. Таким образом, юный Эйлер имел время и возможность невозмутимо созревать, чтобы в нужный момент с молниеносной быстротой развернуть силы своего гения. Однако, по-видимому, отец уже чувствовал некоторое беспокойство, потому что биографы Эйлера вскользь упоминают о том, что он в эту пору не запрещал серьезным образом Эйлеру математических размышлений.

2. Учение и первые научные шаги. Следуя своему плану духовного образования для сына, отец отправил его в Базель изучать философию. Эйлер, послушный отцу, аккуратно посещал полагающиеся ему лекции. Но, обладая совершенно исключительной памятью, он быстро запоминал все то, что ему полагалось и что не было геометрией, с тем, чтобы весь остаток своего времени целиком отдавать излюбленной им науке. Теперь, имея уже явно выраженную склонность к математическим наукам и воспламененный ум, жадно стремившийся узнавать все больше и больше фактов, по мере того, как подвигалось его математическое образование, Эйлер не замедлил стать известным знаменитому Ивану Бернулли, крупнейшему из живших в ту эпоху геометров. Он тотчас же отметил Эйлера среди всех других своих слушателей, но, не будучи в состоянии ни предоставлять ему свое время в те часы, которые у Эйлера оставались свободными от его основных занятий, ни давать ему частные уроки, Иван Бернулли предложил Эйлеру приходить к нему каждую субботу с тем, чтобы разъяснять ему те трудности, с которыми Эйлер встречался при самостоятельном изучении самых серьезных математических трудов. «Превосходная метода,— замечают биографы Эйлера,— но ею можно было преуспеть, имея дело лишь с подлинным гением, столь же пылким и нетерпеливым в своих устремлениях, как и неутомимым в работе,— каков был Эйлер, предназначенный затмить своего учителя и составить эпоху в истории математических наук».

В 1723 г., в 16 лет, Эйлер, после'произнесения им речи на латинском языке о философии Ньютона и Декарта, получает степень Maitre des arts, позволяющую преподавать гуманитарные науки и философию. Затем, послушный воле отца, Эйлер приступил к изучению теологии и восточных языков. Обладая изумительной памятью, Эйлер начал это изучение не без успеха, но не смог переломить себя и приноровиться к характеру этих дисциплин, мало гармонировавших со свойствами его гения. Отец, видя, что в сыне говорит то, что сильнее всякого желания быть послушным, сильнее самой его воли и, может быть, его собственного понимания, видя, что от геометрии уже более ничто не может его оторвать, отступился от своих планов, и Эйлер, уже с согласия отца, с удвоенным жаром устремился к математическим наукам. Между Эйлером и сыновьями Ивана Бернулли -— Николаем и Даниилом — завязалась искренняя и тесная дружба. В то время начала создаваться Academia Scienciarum Petropolitana

—ЭЙЛЕР (ПО ПОВОДУ 150-летия СО ДНЯ СМЕРТИ) 353

наша Академия наук, и в 1725 г. оттуда было прислано приглашение обоим юным Бернулли. Эйлер страстно желал следовать за ними, и Бер. нулли обещали ему при первой возможности найти ему подходящее место- На следующий год они написали ему, что действительно нашли его, но что для этого он должен уметь применять свои математические знания в физиологии.

Могучий талант не может обмануть, и чтобы стать физиологом, Эйлеру достаточно было захотеть. Нетерпеливо желая почувствовать скорее твердую почву под ногами, Эйлер устремился слушать лекции лучших медицинских сил Базеля. Эти лекции не могли заполнить всего ума Эйлера, столь же широкого, как и активного: остающееся время Эйлер употребил на составление диссертации «Dissertatio physico de sono» («О природе и распространении звука») и на решение вопроса о размещении мачт на судах. Это последнее сочинение: «Meditationes super problemate nautico de complantatione malorum» Парижская Академия наук сочла достойным почетного отзыва в 1727 г.; этому сочинению суждено было стать началом знаменитой серии работ Эйлера по навигации, обогативших эту область столькими открытиями.

К счастью для нашей Академии наук, Базельский магистрат оказался иного мнения об Эйлере, чем Парижская Академия наук, и защищенная Эйлером диссертация для соискания кафедры физики в Базельском университете признана была недостаточным аргументом для получения этой профессуры. Через несколько дней после этого Эйлер уехал в Россию. Первые же выступления Эйлера в нашей Академии ответили всем ожиданиям его соотечественников, в том числе Даниила Бернулли. Назначенный сразу же адъюнктом Академии по математике и поэтому не имеющий более нужды вспоминать о физиологии, Эйлер со страстью весь ушел в творчество в той науке, от которой не могли его отклонить ни настояния его отца, ни малое жалование. Он сразу же принялся обогащать первые тома «Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae» своими мемуарами, возбуждая на состязание Даниила Бернулли, дружба с которым никогда не омрачалась ревнивым к науке чувством ни с той, ни с другой стороны.

3. Эпоха. Время для математической карьеры тогда было исключительно неблагоприятным. Талант средней силы не имел никакой надежды преуспеть, надо было или совсем не входить в состязание с великими людьми этой эпохи, либо, войдя, сиять полным блеском. Воспоминание о великих людях эпохи было в полной силе. Недавно еще умерли Лейбниц и Ньютон, совершенно изменившие лик геометрии. Не поблекла еще память о великих услугах, оказанных науке Гюйгенсом,Иваном Бернулли, Моавром, Тэйлором, Ферма и другими геометрами, поработавшими над всеми областями математики.

После столь блистательной эпохи что осталось на долю Эйлера? Можно ли было ожидать, что природа, организовав столь незадолго перед этим такое количество математических голов и столь скупая на свои интеллек-

354 Н. Н. Л У 3 И н

туальные дары, совершит еще раз чудо? Эйлер чувствовал, однако, что это так, и смело вошел в это блестящее собрание с той твердой уверенностьюг на которую ему давала право вся полнота его интеллектуальных даров. Но помимо глубоких внутренних трудностей эпохи имелись для Эйлера еще и чисто внешние трудности. Перемена лиц в правительстве стала угрожать самому существованию нашей Академии, которая была еще слишком молода, чтобы прочно утвердиться. Холодно и косо глядели на это учреждение, поглощавшее огромные суммы и притом без немедленно ощутимой пользы. Единственно правильная точка зрения на Академию как на ассоциацию наук, долженствующую следить за всеми делающимися научными открытиями, анализировать их, оценивать должным образом, усовершенствовать и распространять, еще не была известна. Академики почувствовали необходимость самим заботиться о своей дальнейшей судьбе. Адмирал Сивере, предугадывая пользу, которую может принести флоту такая сила, выхлопотал для Эйлера чин лейтенанта флота и обещал дальнейшее незамедлительное повышение по службе. Эйлер был уже готов принять это предложение, когда выход нескольких академиков и отъезд их на родину изменили положение. Эйлеру предложили место профессора физики, которое он и занимал до отъезда своего друга Даниила Бернулли за границу, на место которого он был избран академиком в 1733 г. Эйлеру тогда было всего 26 лет.

4. Работоспособность. Громадное количество мемуаров, представленных Эйлером нашей Академии в эту эпоху, свидетельствует о такой продуктивности Эйлера, в которую просто трудно поверить. Но еще более поразительный факт произошел в 1735 г., когда Академия получила от правительства предложение выполнить спешное крайне трудное вычисление. Академия не могла уклониться от этого поручения, отклонение которого поставило бы под угрозу самое существование Академии. Но академики потребовали несколько месяцев срока для выполнения этого поручения. Тогда Эйлер взялся произвести его в три дня и, действительно, к великому изумлению всей Академии, Эйлер окончил в указанный им самим срок все вычисление.

Но эта работа ему дорого стоила: по свидетельству биографов Эйлера, он заболел «нервной горячкой», чуть было не убившей его; во время ее у Эйлера вытек правый глаз. Такая одержимость и напряжение в работе просто не знакомы ученым нашей эпохи; по-видимому, здесь мы имеем непонятный нам случай доведенного до предела нервного напряжения, более которого человеческая природа не может выдержать и за которым начинается уже фактическое разрушение организма. Потеря столь ценного органа всякого другого непременно заставила бы беречься, чтобы сохранить оставшийся глаз. Но Эйлеру был нестерпим всякий перерыв в работе. Эйлер легко откааывался от приема пищи, когда работа, к которой он имел вечную привычку, этого требовала.

5. Трактат по механике. До сих пор Эйлер был известен в избранных, но не широких кругах. На мировое место его выдвинул напе-

ЭЙЛЕР (ПО ПОВОДУ 150-летия СО ДНЯ СМЕРТИ) 355

чатанный в 1736 г. двухтомный «Трактат по механике» («Mechanica, sive motus scientia analytice exposita», Petropolis). Открытие дифференциального и интегрального исчисления внесло сильнейшее потрясение почти во все отделы математики. В частности, оно совершенно изменило и лицо механики. Ньютон, Бернулли и сам Эйлер последовательно обогащали эту науку многочисленными открытиями. Но все это было в разбросанном состоянии и не было полного труда по науке о движении. Эйлер ясно видел, что в основании «Принципов» Ньютона лежит глубоко скрытая дорога, идя по которой, сильнейшие ученые обогащают механику. Поэтому Эйлер приложил всю свою творческую мощь и пустил в ход все ресурсы анализа, которые только были в его распоряжении, чтобы раскопать эту дорогу. На этом пути он получил решение таких вопросов, к которым до него никто не осмелился приближаться, и связал полученные им решения с результатами других геометров.

Ясность в идеях, точность их формулировки, прекрасный порядок их изложения — все это качества всякого автора, который хочет стать классиком. Все эти свойства имеет «Трактат по механике» Эйлера, но они со^ ставляют лишь ничтожную часть достоинств этого труда, главной заслугой которого явилась общность и глубина. Сила «Трактата по механике» была такова, чтот этот труд сразу поставил его на первое место среди живущие тогда геометров, и это было очень много, потому что Иван Бернулли тогда еще жил. Этот человек, покрытый славой стольких побед, Должен был дать Эйлеру место рядом, и это после того, как он брал верх над всяким геометром Англии и Франции, который только осмеливался меряться с ним. Эйлеру тогда было 29 лет.

6. Другие работы Эйлера в это время. Мы уже указали, что с самого своего вступления в нашу Академию Эйлер обогатил «Commentarii» Академии огромным числом мемуаров, носящих печать его гения. В них Эйлер исчерпал теорию самых замечательных кривых, каковы таутохроны, брахистохроны, траектории и т. д. В этих же мемуарах содержатся самые глубокие изыскания по интегральному исчислению, о природе целого числа, по бесконечным рядам, по движению небесных тел, по притяжению эллипсоида, по столь многим предметам, что буквалыш одной двадцатой части общего количества сделанных им открытий было бы достаточно для того, чтобы сделать известным их автора.

Но наиболее крупным открытием, сделанным Эйлером в это время, яв- ляется решение знаменитой проблемы изопериметров. Эта проблема была предметом спора двух братьев: Якова и Ивана Бернулли, из которых каждый претендовал на ее решение, но на самом деле никто из них не имел его. Эйлеру принадлежит полное решение. Самое количество и ценность этих мемуаров поистине изумительны, и не совсем понятным является, каким образом один человек смог выполнить все эти работы, один список которых приводит нас сейчас в смущение.

7. Музыка. Эйлер в ту пору был молод; имея от природы открытый и веселый характер, он был создан для общества. Но такое большое число

356 Н. Н. Л У 3 и н

работ, столь различных по содержанию, естественно не оставляло ему времени для развлечений. Однако музыка для Эйлера была исключением: он охотно выкраивал для нее кусочек времени среди своих работ. Трудно сказать, какого рода удовлетворение давала Эйлеру музыка. Судя по работам Эйлера о музыке, это не было ни отдыхом, ни растворением до конца его «я» в потоке мелодии, но было лишь новой формой работы. Эйлер, отдаваясь приятным ощущениям гармонии среди аккордов, просто напросто вычислял пропорции. По крайней мере, отсюда возникла его «Теория музыки» («Tentamen novae theoriae musicae, ex cortissimis harmoniae principiis dilucide expositae», Petropolis), опубликованная в 1739 г. Это — глубокий труд, но не имевший успеха, потому что для математиков там было слишком много музыки, а для музыкантов — слишком много математики. Одвако там дана теория музыкальных инструментов с ясностью и точностью, присущими Эйлеру; эта часть представляет высокую ценность. Интересен принцип, положенный Эйлером в основу его труда по му* зыке: согласно этому принципу, чувство удовольствия возникает в уме от созерцания совершенства; и так как идеальный порядок вещей вызывает в нас сильнейшее чувство совершенства, то удовольствие, даваемое музыкой, состоит в восприятии отношений тонов между собою, порядка их следования и пропорций частоты колебаний.

Часто делались указания на недостаточность этого принципа и на невозможность все наши глубокие чисто внутренние движения подвергнуть счислению. Таким образом, рассматривая «Теорию музыки» Эйлера, приходится удивляться искусству архитектора, выстроившего здание хотя и совершенное во всех частях, но на движущемся фундаменте. О «Теории музыки» Эйлера можно было бы и не упоминать совсем, если бы исторически именно отсюда не возник знаменитый спор о звучащей струне, которому суждено было стать центром сильнейшего движения идей на протяжении 150 лет, включая сюда и настоящий момент, приковывающих общее внимание.

8. Учебник арифметики. В это же время Эйлер опубликовал учебник по арифметике. Академии наук было предложено заняться составлением элементарных курсов. Эйлер не счел ни ниже своего достоинства, ни ниже своих сил заняться делом, имеющим столь высокую цель, какова народное образование, и с головою ушел в него, терпеливо участвуя во всех чрезвычайных комиссиях, созывавшихся по этому поводу. Учебник появился в 1738 г. В этом же году Парижская Академия наук удостоила премии его «Мемуар о природе и свойствах огня».

9. Приливы и отливы. Та же самая Парижская Академия наук в 1740 г. предложила на премию тему о морских приливах и отливах. Этот важный вопрос представлял исключительную трудность, так как требовал необъятных вычислений, опирающихся на теорию солнечной системы. Труд Эйлера, представленный в этом же, 1740 г. в Парижскую Академию наук и удостоенный ею одной трети премии, является настоящим шедевром анализа и геометрии. Парижская Академия разделилаЭЙЛЕР (ПО ПОВОДУ 150-летия СО ДНЯ СМЕРТИ) премию на три части ввиду того, что соперниками Эйлера явились столь сильные люди, каковы были Даниил Бернулли и Маклоревг. Никогда еще Парижская Академия не имела столь блестящей конкуренции и столь большой цены представленных ей мемуаров. Мемуар Эйлера «Inquisitio physica in causam fluxus et refluxus maris» дает решение, замечательное своею ясностью, с которой Эйлеру удалось выделить из хаоса разнообразных факторов действия солнца и луны; далее оно замечательно определением фигуры Земли, образованной этими двумя воздействиями; проницательностью, с которой Эйлер учел колебательное движение морей, вызываемое инерцией вод; выполнением труднейших интеграции, связанных с этими колебаниями, и проницательностью объяснения главнейших явлений прилива.

Интересно заметить, что не только результаты изысканий Эйлера согласуются с наблюдениями, но что они находятся в полном согласии с мемуа- ром Даниила Бернулли, хотя оба автора отправлялись от разных принципов. Один принимал гипотезу вихрей, другой ее отвергал, и тем не менее они пришли к одной и той же цели, получив несколько раз одни и те же численные результаты, например при определении приливов в полярном кругу.

Эйлер не раз встречался в своих результатах с другими геометрами и, в частности, с Даниилом Бернулли. Этот последний иногда имел то преимущество, что давал физическим принципам большую точность, чем Эйлер: Д. Бернулли имел терпение освобождать себя от вычислений тем, что предварительно, с большими проницательностью и искусством ставил опыты и на основании их делал выбор между гипотезами, которые иначе потребовали бы гигантских вычислений. Наоборот, Эйлер нисколько не тяготился вычислениями, и никакие формулы, как бы они ни были необъятны, никогда не стесняли его: такова была прозорливость Эйлера, что самая громоздкая формула гнулась в его сильных руках как мягкий воск и послушно давала под его усилиями все, что угадывала в ней его проницательность. Д. Бернулли и Эйлер были два ума совершенно различной натуры, организованные природой по-разному. В своем поистине изумительном чувстве формул Эйлер не знает себе соперников и по наши дни. Его инстинкт алгебраиста и геометра непосредственно чувствовать в формулах истину и ложь, его искусство комбинировать формулы, их оценивать численно, преобразовывать, мгновенно разгадывать природу результата были поистине изумительны. Можно без преувеличения сказать, что в глазах Эйлера математические формулы жили своей собственной жизнью и рассказывали глубочайшие вещи о явлениях природы и что ему достаточно было только прикоснуться к формулам, чтобы они из немых превращались в говорящие и дающие ответы, полные глубокого смысла.

10. Отъезд Эйлера в Пруссию. В 1740 г. началось тяжелое для России время регентства Бирона, и положение нашей Академии стало совсем шатким. В это время слава Эйлера гремела по всей Европе и его работы привлекали к себе совершенно исключительное внимание. Эйлер

358 Н. Н. Л У 3 и н

чрезвычайно дорожил нашей Академией и чувствовал себя в ней очень хорошо. Но когда самое существование нашей Академии стало сомнительным, Эйлер получил предложение от прусского правительства переехать в Берлин. При этом имелось в виду оживить угасавшее вследствие продолжительной войны прежнее Ученое общество, основанное Лейбницем, и превратить его в Прусскую Академию наук. Эйлер оказался вынужденным принять это предложение и в 1741 г. выехал в Берлин. Ему тогда было 34 года. В Берлине Эйлер нашел прежнее Ученое общество в полном упадке и приступил к организации нового ученого общества, частью из членов старого, частью из новых лиц. Тотчас же по приезде он украсил «Miscellanea Berolinensis» пятью своими мемуарами, из которых один замечателен тем, что в нем Эйлер дает современный способ интегрирования рациональных дробей путем разложения их на простые дроби и излагает обычный теперь способ интегрирования линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами («De integratione aequa- tionum differentialium altiorum graduum»).

В 1744 г. учреждается Прусская Академия наук, и с этого времени Эйлер печатает в «Memoires de I'Academie des Sciences de Berlin» каждый год от трех до девяти мемуаров.

11. Плодотворная деятельность Эйлера. Этот поток мемуаров в Прусскую Академию наук, содержащих всегда новые точки зрения и очень часто глубокие и важные открытия, становится тем более удивительным, что Эйлер, чрезвычайно дорожа нашей Академией наук, направлял в ее «Commentarii» половину своих трудов. Видя его произведения следующими столь быстро друг за другом, невольно начинаешь думать, что самые тонкие или сложные вычисления и самые глубокие размышления ему не стоили ничего. В настоящее время едва можно поверить, что жизни только одного человека было достаточно для выполнения всех этих работ. В дальнейшем, ввиду полной невозможности следовать хронологическому порядку возникновения в высшей степени многочисленных и разнообразных трудов Эйлера, мы будем соединять их в группы и давать группам самую краткую характеристику в несколько строк.

12. Начала вариационного исчисления. Рассматривая важную проблему изопериметров, Эйлер увидел громадную пользу этой проблемы как для самого математического анализа, так и для многих теоретических изысканий по физике. Он заметил, что все кривые линии, требуемые решениями физических проблем, получаются в результате решения одной только проблемы о максимумах и минимумах и что некоторые из них просто являются следствием метода изопериметров. Став на эту точку зрения, Эйлер возвысился до установления a priori того общего принципа механики и физики, в силу которого все действия природы и ее конечные причины имеют в виду лишь переход в состояние максимума или минимума того или иного выражения.

В ту эпоху Даниил Бернулли также инстинктивно чувствовал наличие в- природе великого принципа максимумов и минимумов; он написал Эй-

ЭЙЛЕР (ПО ПОВОДУ 150-летия СО ДНЯ СМЕРТИ) 359

леру, что траектории, описываемые около центров сил, могут быть определены этой методой. Но Д. Бернулли не мог преодолеть трудностей связанного с этим делом математического анализа. Эйлер в 1744 г. выпустил в свет полный трактат по теории изопериметров [«Methodus inveniendi lineas curvas maximi minime proprietate gaudentes, sive solutis problema- tis isoperimetrici latissimo sensu accept!»], в котором он закладывает основания вариационного исчисления, рассматривая бесконечно малые деформации кривых. После Эйлера изменилось только изложение решения этих вопросов, но сущность его методы осталась та же.

13. Планеты и кометы. В том же 1744 г. Эйлер опубликовал трехтомную теорию движения планет и комет («Theoria motuum Planeta- rum et Cometarum continens methodum facilem ex aliquot observationibus orbitas cum Planetarum cum Cometarum determinandi»). Здесь Эйлер дает способ определять их орбиты из нескольких наблюдений. К этой теории Эйлер потом возвращается, обогащая ее многими открытиями.

14. М а г н е т и з м. В этом же, 1744 г. Эйлер получил премию Парижской Академии наук за свою теорию магнетизма («Dissertatio de mag- nete»), основанную на предположении о протекании эфира в промежутки между атомами,и о вихрях, образующихся вследствие этого протекания. Теория эта была в состоянии объяснить все факты магнетизма, известные во время Эйлера.

15. Артиллерия. Состояние войны вызывало особенный интерес к артиллерии. Прусское правительство обратилось к/Эйлеру за советом относительно лучшего трактата по этому предмету. В то время появился в Англии труд Робинса, известного в истории артиллерии изобретателя баллистического маятника, где были приведены различные выводы по внешней и внутренней баллистике. Автор этого труда в свое время резко критиковал «Трактат по механике» Эйлера, не понимая его идей. Эйлер рекомендовал труд Робинса, перевел его с английского на немецкий и снабдил своими «добавлениями». Эти «добавления» были не чем иным, как собственно полной теорией полета снаряда; в них Эйлер выводит теоретически закон сопротивления в виде двучлена, первый член которого, пропорциональный квадрату скорости, обусловливается ударом снаряда о воздух; второй же член, пропорциональный биквадрату скорости, обусловливается перевесом давления сжатых частей струй воздуха на переднюю часть над давлением разреженных частей струй на заднюю. В своем тексте Эйлер полностью отдавал должное Робинсу, скромно указывая на некоторые погрешности его выводов, происходящие от противоречия указываемой им теории.

Ничего подобного раньше не было сделано в баллистике. Французское правительство распорядилось немедленно перевести эту книгу с немецкого на французский и ввести в военные школы; одновременно с этим появился английский перевод этой книги в роскошном издании. Можно без колебания сказать, что Эйлер в сильнейшей степени содействовал своими добавлениями известности книги Робинса. Немецкий текст книги Робинса

360 Н. Н. Л У 3 и н

с добавлениями Эйлера («Neue Grundrisse der Artillerie von Robins») вышел в 1744 г. Впоследствии (в 1753 г.) Эйлер усовершенствовал формулы баллистики и придал им вид, удобный для применения («Recherches sur la veritable courbe que decrivent les corps jetes dans l'air ou dans un autre fluide quelconque». Memoires de l'Academie des Sciences de Berlin). В 1746 г. были напечатаны три тома различных статей Эйлера («Varia opuscula»), где он от вопросов баллистики о полете круглых ядер переходит к космическим вопросам и изучает сопротивление эфира, оказываемое таковым движению планет.

16. Свет и звук. Признавая эфир причиной пламени, тяготения, электричества и магнетизма и дойдя даже до вычисления того малого сопротивления, которое эфир оказывает движению планет, Эйлер не мог быть удовлетворенным ньютоновой теорией света, согласно которой причина световых явлений усматривалась в эманации световых частиц. Эйлер рассматривал гипотезу пустоты мирового пространства, принятую Ньютоном, как находящуюся в противоречии с материальной эманацией Солнца и неподвижных звезд. По мнению Эйлера, материальные частицы, образующие по Ньютону лучи Солнца и звезд, скрещивались бы повсюду, наполняли бы все пространство и представляли бы такое сопротивление движению планет, какого не может оказать эфир, отрицаемый Ньютоном как раз именно по этой самой причине. Эйлер стремился показать, что материальные частицы не могут двигаться со скоростью света, потому что они имели бы неустойчивую траекторию; он вычисляет, что масса Солнца оказалась бы истощенной в несколько секунд; наконец, Эйлер стремится доказать, что прозрачные тела, чтобы дать место пронизывающим их «частицам света» Ньютона, должны были бы быть лишены всякой материиг т. е. перестать быть телами.

Эйлер взял за исходную точку зрения аналогию между звуком и светом и рассматривал свет как вибрацию эфира. Он рассматривал качественные различия в окраске света и тонах звука, как происходящие от изменения частоты колебаний. Явления преломления света он уподоблял преломлению звука. Эти принципы, по мнению Эйлера, позволили ему рассматривать и объяснять явления света гораздо более естественно, чем у Ньютона, и выводить явления a priori, если бы они не были известны на опыте.

17. Философия. В ту эпоху философией, направлявшей течение мыслей, было вольфианство. Повсюду только и говорили, что о принципе достаточного основания и о монадах. Эйлер добродушно смеялся над первым принципом, возводимым его поклонниками в прямую нелепость; но он чрезвычайно серьезно относился к идее монад, которую рассматривал как гениальное заблуждение, опровержение которого даст много довых открытий. Здесь Эйлер ищет прежде всего установить, что неделимая ча» стица материи есть чистое ничто; что элементы материи, кроме общего их свойства протяженности и непроницаемости, имеют все без исключения столь же общее им свойство инерции; что, наконец, элементы материи не могут быть наделены силой непрерывно изменять свое состояние, и что

ЭЙЛЕР (ПО ПОВОДУ 150-летия СО ДНЯ СМЕРТИ) 36t

все заключения, которые выводятся из принципа неразличимых о различии этих сил,должны быть решительно отброшены. Разрушая таким образом могущественную философскую систему, из которой вытекали величественные, но совершенно неверные идеи, Эйлер заменил свойства монад Лейбница и Вольфа одной только силой инерции, важность которой, понял в свое время сам Лейбниц. Эйлер положил силу инерции как принцип всех возможных изменений, происходящих в мире. В частности, Эйлер выводил из этого принципа законы удара и давления и на основании его же доказывал, что материя вовсе не одарена способностью мыслить. Возражения Эйлера против монад, разумеется, навлекли на него критику, но она была забыта вместе с самою монадологией, которая потом стала рассматриваться как пример заблуждения человеческого ума, руководящегося одним лишь воображением. Совсем иное являл принцип инерции Эйлера; он вполне соответствовал величию и вместе с тем той простоте, с которой природа проявляет свою активность. Притом этот принцип тесно соприкасался с геометрией: его следствия могли быть точно вычислены и могли служить для описания и предсказания феноменов. Таким образом, Эйлер понимал философию, как натур-философию, и здесь его любознательность не имела предела, проявляясь в виде глубоких и творческих идей. Здесь мы находим изыскания Эйлера о хвостах комет, о северном сиянии, о зодиакальном свете, о скорости звука и света, о пространстве и времени, о природе силы и т. д. Все это Эйлер рассматривал в своих бесчисленных статьях, анализировать которые нет возможности^ раз мы хотим сосредоточиться на больших его трудах.

18. Н а в и г а ц и я. До Эйлера навигация не извлекала ничего из тех открытий, которые были сделаны в анализе, геометрии и физике.. Была до известной степени разработана лишь гидрографическая часть навигации и еще та ее часть, которая относится к направлению курса судов; это было сделано соединенными усилиями геометров и астрономов. Но о маневрах судов и их скорости не было ничего известно, если не считать несовершенных попыток Гюйгенса и Шевалье де Рено. Эйлер первый осмелился замыслить и привести в исполнение проект превращения навигации в точную науку. Его ранние этюды по равновесию' судов дали ему возможность характеризовать устойчивость числом. Отправляясь от этого, Эйлер оставил большой труд в двух томах, опубликованный нашей Академией наук в 1749 г. («Scientia navalis, seu tractatus- de construct!one ac dirigendis navibus»).

Сначала Эйлер предполагал ограничиться общей теорией равновесия и движения плавающих тел, а также сопротивления жидкостей. Но он скоро- увидел, что этих принципов было недостаточно и что надо было атаковать полную теорию судов, как таковых. Нужно было дать вычисление сопротивления судна и величины движущих им сил. Нужно было дать правила их конструкции и маневрирования и научиться определять наивыгоднейшее взаимоотношение частей с тем, чтобы найти нужную пропорцию таких взаимно противоречивых требований, каковы скорость и устойчивость.

362 Н. Н. ЛУЗИН

Надо было узнать, ввиду того или иного специального назначения судна, до какой степени можно жертвовать одним качеством, чтобы увеличить нужные другие. Все это составило второй том труда Эйлера, содержавший теорию равновесия и устойчивости судов, вопросы о качке на зыби, о форме судов и кораблестроении, о движении судов силой ветра и об управлении судном.

Эйлер пополнил этот труд серией мемуаров, напечатанных частью у нас, частью в Берлине. Из них «Мемуар о боковой и килевой качке судов» получил в 1759 г. премию Парижской Академии наук.

Благодаря труду Эйлера морское кораблестроение, державшееся раньше, за отсутствием принципов, эмпирических правил и рутины, внезапно обогатилось полной теорией, в то время как общая архитектура продолжала развиваться лишь ощупью и очень медленно. Этот труд Эйлера, написанный на языке высшей математики, был недоступен ни строителям, ни капитанам. Поэтому впоследствии Эйлер, уже по возвращении в Россию, опубликовал в 1773 г. полную теорию кораблестроения и маневрирования судов, откуда было изъято все, не находившееся в тесном соприкосновении с морским делом, и где были даны расчеты, которыми могли пользоваться уже непосредственно и строитель и капитан. Никогда еще книга, содержавшая теоремы геометрии, не имела такого успеха. Труд Эйлера был издан в Париже; его ввели там в морские училища, и французское правительство ассигновало Эйлеру 6000 франков за его открытия в морском деле. Тотчас же после этого появились итальянское и английское издания этого труда Эйлера.

19. Эйлер как инженер. Прусское правительство, вполне оценившее разносторонний гений Эйлера, давало ему поручения чисто инженерного характера. Так, в 1749 г. Эйлеру было поручено осмотреть канал Фуно между Гавелем и Одером и указать необходимые исправления в недостатках этого водного пути; далее, ему было поручено исправить водоснабжение в Сан-Суси. По поводу этого появилось не мало статей, написанных Эйлером в разное время.

20. Трактат по математическому анализу. Назрело время собрать в один систематический труд то огромное число важных открытий,которые Эйлер сделал в анализе бесконечно малых в течение 30 лет и которые были рассеяны в самых различных академических изданиях. Эйлер задумал план; но нужно было подготовить ученый мир, способный оценить этот фундаментальный труд, выпустив предварительную книгу, где нашли бы место самые основные понятия, требуемые трактатом. И таким образом Эйлер был приведен к мысли составить свое знаменитое двухтомное «Введение в анализ бесконечно малых» («Introductio in analysin infinitorum»), изданное в Лозанне в 1748 г. В первом томе с необыкновенной ясностью и простотой изложенысвойствафункций рациональных и трансцендентных: тригонометрических, круговых, показательных, логарифмических, разложение последних в ряды, представление их в виде бесконечных произведений; свойства непрерывных дробей; беско-

ЭЙЛЕР (ПО ПОВОДУ 150-летия СО ДНЯ СМЕРТИ) 363

печные ряды и их суммирование; рекуррентные ряды. Во втором томе Эйлер указал аналитическое исследование кривых линий вообще, и в частности кривых 2, 3 и 4-го порядка и поверхностей 2-го порядка. В чет- Бертой главе даны формулы преобразования прямоугольных координат б прямоугольные же; здесь впервые вводятся те три знаменитых угла, которые называются до сих пор эйлеровыми углами и которые играют в кинематике твердого тела такую выдающуюся роль. Там же дается теория линий двоякой кривизны и изучается пересечение поверхностей. Это «Введение»,даже в самую эпоху Эйлера, утвердило за ним славу величайшего математика. Нужно иметь в виду, что почти все то, что преподается и теперь в курсах высшей алгебры и высшего анализа, находится в этой книге Эйлера.

За этим «Введением» последовал и самый «Трактат по анализу бесконечно малых» в четырех томах, причем первый том, посвященный дифференциальному исчислению и изданный в Берлине, появился в 1755 г. («lnstitutiones Calculi differentialis cum eius usu in Analysi Finitorumac doctrina serierum»), а три остальных тома, посвященные уже интеграль- дому исчислению, были изданы в 1668—1770 гг. нашей Академией («lnstitutiones Calculi Integralis» Petropolis), которую Эйлер не переставал рассматривать как законную собственницу его больших трудов. Дифференциальное исчисление было уже усовершенствовано Ньюто- дом и Лейбницем, а также семьею Бернулли. Но, что сюда было внесено Эйлером, состоит прежде всего в точке зрения, с которой он рассматривал принципы дифференциального исчисления, в единстве метода, в той ясности, с какою он показал пользу этого исчисления для рядов и максимумов — минимумов, наконец в систематическом порядке материала. В этом томе открытия Эйлера скрещиваются с открытиями первых изобретателей дифференциального исчисления; сила Эйлера здесь всюду заметна, как в изложении принципов и сведении их к величайшей очевидности и простоте, так и в получении новых следствий.

Но в то время как дифференциальное исчисление в отношении общих правил дифференцирования было доведено до конца еще Лейбницем, интегральное исчисление и до сих пор не имеет, как известно, никаких общих правил, которые позволили бы отличить неинтегрируемую функцию от интегрируемой и найти фактически интеграл в этом последнем случае. Следует тут же заметить, что вся мощь гения Эйлера как раз и выразилась б том, что доведенные им до конца многочисленные интеграции и найденные им квадратуры еще до сих пор образуют рамки всех современных курсов и трактатов по интегральному исчислению: математика в течение 150 лет лосле смерти Эйлера не смогла пробить бреши в том кольце интеграции, которое было выковано Эйлером, и, таким образом, добавить новые квадратуры. Без всякого преувеличения можно сказать, что, несмотря на все попытки сильнейших математиков и педагогов, живших после Эйлера до наших дней и желавших или расширить рамки выполненных интеграции или просто сказать новое слово в самом изложении интегрального исчис-

364 Н. Н. Л У зи н

ления, — это последнее все еще остается в том же самом виде, каким его дал Эйлер, и все новейшие усилия вращаются по-прежнему в том же замкнутом круге. В отношении интегрального исчисления современные учебники являются лишь переделками трактата Эйлера, только подновлением этого труда в отношении языка, но самая материя остается неизменной,, такой, какой ее дал Эйлер. Слава Эйлера заключается еще в том, что он раздвинул границы интегрального исчисления до пределов, о которых не мечтали его основатели — Ньютон и Лейбниц.

В этом труде Эйлера мы находим решение множества вопросов точного и приближенного интегрирования дифференциальных уравнений разных степеней и порядков и дифференциальных уравнений с частными производными.

Третий том «Интегрального исчисления» Эйлера содержит новое «Вариационное исчисление», которым он обогатил математический анализ. Мы уже видели, что проблема изопериметров побудила Эйлера положить принципы нового исчисления. Лагранж, достойный преемник Эйлера в Берлинской Академии наук, освободил рассмотрения Эйлера от всяких геометрических интуиции и придал им форму независимого исчисления мате8- матического анализа. Лагранж сильно усовершенствовал его и назвал «Вариационным исчислением».

21. Цвета и телескопы. Гений Эйлера не мог удерживаться^ в определенных рамках, как бы широки они ни были. Все, что имело хотя малейший намек на числовое отношение, тем самым уже привлекало его* внимание, а что подлежало изменению, он подвергал счислению и алгорифму. Ранние исследования Эйлера по ньютоновой теории света привели, его к изысканиям о различной преломляемости лучей света в одной и той же прозрачной среде и к определению дурного влияния этого явления на рефракторы, которые к тому времени стали вытесняться зеркальными телескопами как раз вследствие этого вредного эффекта хроматизма. Изучение устройства животного и человеческого глаза привело Эйлера к мысли о комбинации нескольких прозрачных линз, дающих неокрашенное изображение. В 1747 г. Эйлер предложил сложный объектив, составленный из двух стекол с внутренней полостью, наполненной водой («Sur la perfection des verres objectifs, des lunettes». Memoires de Berlin). С Эйлером вступил в спор знаменитый английский художник Доллонд^ защищавший теорию Ньютона, но Эйлер без труда доказал ошибочность принципов Доллонда. Кроме того, Эйлер стал проделывать эксперименты со стеклами, внутренние полости которых наполнялись различными жидкостями, и эти эксперименты подвердили верность соображений Эйлера г его модель животного глаза не давала той вредной окраски изображения, из-за которой в самом своем принципе был забракован рефрактор. В 1757 г. Доллонд, проверяя опыты Эйлера, заменил жидкую среду твердой прозрачной средой — стеклом несколько другого состава и таким образом пришел к изобретению ахроматического объектива, составившего эру в астрономии и диоптрике. Тем не менее, начало этого изображения

ЭЙЛЕР (ПО ПОВОДУ 150-летия СО ДНЯ СМЕРТИ) 365

лежит в принципе ахроматизма, открытом Эйлером, так как Доллонд руководился лишь указаниями Эйлера, вернее — следовал им против овоей воли, желая опровергнуть на опытах теорию Эйлера. Эйлер, обрадованный успехами Доллонда и его изобретением, продолжил свои изыскания по теории оптических инструментов, доказал неблагоприятность сферической формы линз, указал на способы освободиться от ее недостатков и, наконец, дал теорию телескопов и микроскопов, верность которой была такова, что оптические инструменты стали строиться с тех пор сообразно с ней. Таким образом, спор Эйлера с Доллондом относительно теории цветов Ньютона привел к величайшему открытию этого века — ахроматическому рефрактору, оказавшему астрономии трудно оценимые услуги в изучении неба.

22. Спор о звучащей струне. Этот знаменитый спор .между Эйлером, Даламбером, Даниилом Бернулли и Лагранжем, начавшийся в 1747 г., но созревавший задолго перед этим, можно рассматривать как продолжающийся и в наши дни, причем новые и новые сильнейшие ученые каждой эпохи в свою очередь втягиваются в этот спор. Трудно даже перечислить те глубокие и тончайшие идеи, которые возникли и лродолжают возникать из этого спора. Сущность этого спора должна •составить предмет отдельного очерка.

23. Спор о принципе наименьшего действия. Другой спор, короткий, но острый, возник между Кенигом, атаковавшим в 1751 г. принцип наименьшего действия, и Мопертюи, которому он отказывал в приоритете. Прямым образом Эйлер здесь затронут не был, хотя дело шло именно об открытии, сделанном, как помнит читатель, самим Эйлером. Вмешавшись в этот спор, Эйлер с дружеским участием принял сторону Мопертюи, и единственные превосходные мемуары Мопертюи, ликогда не написавшего других мемуаров, были обязаны этому спору.

24. Движение Земли. Решение Даламбером важной задачи относительно предварения равноденствий и колебаний земной оси побудило Эйлера опубликовать свои изыскания по этому вопросу в V томе «Мё- moires de Berlin», там же, где Эйлер напечатал свое решение спора, происходившего между Лейбницем и Иваном Бернулли относительно логарифмов отрицательных и мнимых чисел. Задача о предварении равноденствий заставила Эйлера выполнить изыскание относительно движения твердого тела при переменной оси вращения. Для изучения такого движения известных тогда основных теорем механики было недостаточно. Следовало поэтому еще раз обратиться к принципам учения о движении и постараться отсюда вывести общие правила для определения движения твердого тела при переменной оси вращения. Эйлер кончил тем, что открыл новый лринцип механики, позволивший ему трактовать во всей общности проблему движения твердого тела.

Эти изыскания Эйлера пролили уже совсем новый свет на всю науку о движении. В своем прежнем «Трактате по механике» Эйлер довольствовался изучением движения точки или системы конечного числа точек. Но

366 Н. Н. Л У 3 и н

трактование самой трудной и самой существенной части механики — движения твердого тела — было тогда отложено и было сделано Эйлером лишь в 1765 г. («Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum. Rostock»), Этот труд нужно рассматривать как полный трактат о механике, потому что Эйлер присоединил к нему в форме «Введения» изложение всех принципов движения точек, рассмотренных уже по иному, чем раньше, и с гораздо большими полнотой и ясностью. Сюда вошли все его открытия по движению твердых тел. Это сообщило новый прогресс теории движения небесных тел, астрономии и навигации.

25. Возвращение в Россию и слепота. Биографы Эйлера утверждают, что он всегда очень желал возвратиться в Россию. Можно установить, что Эйлер действительно никогда не прерывал связи с нашей Академией Наук, оказывая ей ценные услуги, либопутемпредостав- ления ей важнейшей части своих трудов, либо занимаясь научным воспитанием присылаемой время от времени русской молодежи. Нужно прибавить, что за Эйлером всегда сохранялось звание действительного члена нашей Академии. По-видимому, Эйлера действительно всегда тянуло возвратиться в страну, где он провел первые годы своей молодости, и в общество, видевшее рождение его славы. В 1766 г. Эйлер покинул Берлин, где он прожил 25 лет в полном блеске своей славы. Прусское правительство едва согласилось его отпустить и сначала задержало его младшего сына, который по истечении некоторого времени был отпущен лишь по особому ходатайству русского правительства.

Едва устроившись в России, Эйлер заболел очень тяжело и выздоровел, лишившись другого глаза: образовавшийся катаракт на левом глазу совершенно лишил Эйлера зрения. Можно легко себе представить,что такая утрата стала бы роковой для всех тех, для кого работа сделалась необходимостью и чей ум непрестанно был возбуждаем новыми открытиями. Но этим нельзя было сломить Эйлера. Его изумительная память и пламенное воображение, еще более усилившееся от концентрации ума, не развлекаемого более никакими внешними впечатлениями, заменили утрату органа, с гибелью которого, казалось, кончалась научная деятельность этого человека.

Мальчик-портной, вывезенный Эйлером из Берлина для личных услуг, не имевший никакого математического образования, сделался писцом, которому Эйлер диктовал свои «Элементы алгебры» («Anleitung zur Algebra», 2 т., 1770), величайшая ясность и стройность которых вызывает удивление, не говоря уже об обстоятельствах, при которых Эйлер составлял этот труд. Дух открытий царит в этом, собственно совсем элементарном курсе, содержавшем, среди прочих новостей, впервые диофантов анализ. Этот труд был тотчас же переведен на русский и французский языки.

26. «Диоптрика». Прибытие в Академию математика Крафта сделало возможным для Эйлера реализовать проект, давно сложившийся у него в голове: собрать в один труд все те многочисленные размышления и открытия по теории оптических инструментов, которые у него, были еде-

ЭЙЛЕР (ПО ПОВОДУ 150-летия СО ДНЯ СМЕРТИ) 367

ланы на протяжении 30 лет. С обычной горячностью Эйлер взялся за это дело и опубликовал в 1769, 1770 и 1771 гг. три больших тома «Диоптрики» («Dioptrica». Petropolis).

Первый том содержал общую теорию этой новой науки, которая до эпохи, созданной Эйлером, просто не существовала. Чрезмерная длина астрономических труб, которой нельзя было избежать до изобретения составных объективов, неясность изображений — заставили астрономов избегать систематическим образом рефракторов и прибегать к отражательным телескопам. Но расчет телескопов того и другого вида был в состоянии хаоса, несмотря на то, что высшего анализа там почти не требовалось. И несмотря на потребность в одной лишь элементарной геометрии, эта часть диоптрики получила прогресс и полноту лишь с работами Эйлера. Второй и третий тома «Диоптрики» содержат правила наилучшего расчета рефракторов, рефлекторов и микроскопов. Вычисление аберрации, проистекающей от сферичности стекол, есть настоящий шедевр математического анализа. Можно изумляться искусству, с которым математический анализ в руках Эйлера дал ответ на самые жгучие вопросы о наиболее выгодных качествах инструмента: наибодыней яркости изображения, наибольшем поле зрения, наименьшей длине инструмента, наибольшем увеличении и о числе окуляров. Все виды оптических инструментов были поставлены в теорию и в расчет слепым Эйлером, создавшим условия наилучшего видения в оптических инструментах.

27. Интенсивность работы Эйлера. В то время как ваша Академия была занята опубликованием «Диоптрики», в ее типографии лежали: «Письма Эйлера к немецкой принцессе», три тома «Интегрального исчисления», два тома «Элементов алгебры», «Вычисления кометы 1769 г.», «Вычисления затмения Солнца и прохождения Венеры в 1769 году», «Новая теория Луны», «Навигация» и большое число мемуаров Эйлера, напечатанных в «Commentarii» нашей Академии в этом же году. Едва «Письма к немецкой принцессе» («Lettres a une Princesse d'Allemagne sur quelques sujets de Physique et de Philosophie», три тома, Petropolis, 1768—1772) появились, как были переведены на русский язык, затем тотчас же появилось французское издание в Париже и немецкий перевод в Лейпциге. Эти книжки немало способствовали популярности Эйлера среди образованных лиц, которые не были в состоянии судить об Эйлере по его чисто математическим трудам.

28. Солнечный параллакс и Луна. 1769 г. навсегда останется памятным в истории прогресса наук. В этом году могло быть наблюдаемо прохождение Венеры через солнечный диск, сопровождаемое полным затмением Солнца. Для выполнения этих ценнейших наблюдений правительства России, Франции, Англии и Испании отправили астрономов во все части света для наблюдения столь редкого феномена, который был столь важен для определения размеров солнечной системы. Десять астрономов были отправлены в разные концы России, в то время как Эйлер размышлял над новой методой, которая позволила бы ему из этих наблкь

368 Н. Н. ЛУЗИН

дений получить истинный параллакс солнца и, следовательно, узнать расстояния всех планет. Эйлер нашел очень изящный способ для вычисления не только наблюдений прохождения Венеры, но и следующего за ним затмения Солнца, и показал, как этими данными можно было воспользоваться для определения географического положения места наблюдения. Вычисление по этой новой методе Эйлера было выполнено Лекселлем. Таким образом, астрономия обязана Эйлеру большим прогрессом, вытекающим из точного определения параллакса Солнца. Проблема Луны занимала значительную часть времени Эйлера. Он уже опубликовал в 1746 г. «Таблицы Луны» («Novae et correctae tabulae ad loca Lunae computanda») и в 1753 г. «Теорию лунных движений» («Theoria motuum Lunae, exhibens omnes corporum inaequalitates, cum additamento». Berlin). На основании этой теории Майер составил таблицы, которые были в постоянном употреблении у всех астрономов и за которые он получил премию Бюро долгот. Английский парламент ассигновал в то же самое время Эйлеру 300 фунтов стерлингов за теоремы, послужившие Майеру в том прогрессе, который он внес в важную проблему определения долготы.

В это самое время Эйлер был «присоединенным членом» Парижской Академии наук («associe»). Число таковых по статутам Парижской Академии наук полагалось восемь. Но ввиду совершенно исключительного влияния Эйлера на науку его эпохи, Парижская Академия наук в обход ^статута, с согласия французского правительства, определила Эйлера своим девятым «присоединенным членом», постановив, что первое освободившееся место присоединенного члена не будет замещено никем. Этот высокий знак уважения к гению Эйлера был оказан в 1755 г., когда Эйлеру было 48 лет. За это время Парижская Академия наук трижды премировала его мемуары о неравенствах в движении планет. В 1770 и 1772 гг. Парижская Академия наук избрала предметом премии усовершенствование теории Луны, и Эйлер, с помощью своего старшего сына, получил обе эти премии («Theorie de la Lune et specialement sur Г equation secu- laire», 1770; «Nouvelles recherches sur le vrai mouvement de la Lune», 1772). Эйлер нашел способ учесть некоторые неравенства в движении Луны, которые были ему недоступны в первой его теории вследствие ужасающих сложностей вычисления, которые вызывались его прежней методой. Он имел мужество переобосновать всю теорию Луны с помощью своего старшего сына и профессоров Крафта и Лекселля и довести изыскания вплоть до построения новых таблиц, присоединенных к его большому ТРУДУ 1772 г. («Theoria motuum Lunae nova methodo pertractata, una cum tablis astonomicis, unde ad quoduis tempus loca Lunae expedite сотри tare licet». Petropolis). Здесь вместо того, чтобы остановиться, как он это делал раньше, на бесплодном интегрировании трех дифференциальных уравнений 2-го порядка, пишущихся на основании принципов механики, Эйлер сначала отнес все вычисления к трем координатам, которые определяют положение Луны. Затем он распределил все неравенства

ЭЙЛЕР (ПО ПОВОДУ 150-летия СО ДНЯ СМЕРТИ) 369

Луны на классы, смотря по тому, зависели ли они от среднего расстояния Солнца или Луны, или от эксцентриситета, или от параллакса, или от наклона лунной орбиты. Все эти процессы, выполненные с таким искусством и с такой изощренностью в вычислениях, которые были под силу только первому аналисту в мире, удались выше всех ожиданий. Когда рассматривают эти вычисления, то не знают, чему больше удивляться, необъятности ли самих вычислений, неисчерпаемому ли богатству приемов* предназначенных для сокращения вычислений и для того, чтобы облегчить употребление их в практике, или самому замыслу определения истинного движения Луны.

29. Терпеливость и спокойствие. Терпение и спокойствие ума, которые требовались этими гигантскими работами, становятся тем более изумительными, если учесть обстоятельства, в которых они слагались. Слепому, обязанному распоряжаться и следить за всеми этими необъятными вычислениями одной только силой своей памяти и воображения, Эйлеру выпало на долю претерпеть катастрофу, вызванную пожаром его дома. В этом пожаре сгорело почти все достояние Эйлера и его большой семьи. В частности, сгорели все черновики его теории Луны, и Эй* лер, вместе с сыном, был вынужден снова восстанавливать всю теорию Луны и проделывать во второй раз все вычисления. Не следует упускать из виду, насколько это было трудно слепому Эйлеру, привыкшему к каждому уголку своего прежнего дома, где он имел твердую привычку к расположению всех своих вещей, заменявшую ему зрение, и теперь вынужденному подвергнуться всем заботам и беспокойствам, связанным с переменою места. И тем не менее Эйлер смог выполнить этот колоссальный труд, которого одного было бы достаточно для сохранения в памяти потомства в течение веков его имени, выполнить с такой четкостью, ясностью и уверенностью, как если бы он работал в самых спокойных и лучших условиях.

К тому же это несчастье не пришло к нему одно. Вскоре после пожара знаменитый венский окулист произвел операцию снятия катаракта с глаза Эйлера и возвратил ему зрение к великой радости самого Эйлера и всей его семьи. Но радость эта длилась недолго. Эйлеру было не под силу выдержать необходимое после операции время отдыха глаза и, пренебрегая предостережениями и слишком торопясь начать пользоваться зрением для работы, Эйлер вторично потерял зрение, и уже навсегда, среди сильнейших страданий.

Эйлеру пришлось опять прибегнуть к необходимости пользоваться чужими глазами, как он это делал до операции. Оба его сына и профессора Крафт и Лекселль продолжали попеременно предоставлять в распоряжение Эйлера свои глаза, либо для выполнения огромных трудов, либо для того громадного числа мемуаров, которые находятся в «Novi Commentarii» нашей Академии наук.

Не анализируя эти мемуары, укажем на две последних больших работы Эйлера.

370 Н. Н. ЛУЗИН

30. Гидродинамика. Со времени появления в свет «Гидродинамики» Даниила Бернулли чисто аналитические методы в руках Эйлера достигли такой степени совершенства и силы, стали настолько богатыми и гибкими и приложимыми к самым трудным проблемам физико- математических наук, что от Эйлера все ждали применения анализа к гидротехнике. Эйлер удовлетворил этим ожиданиям и выпустил в свет четыре больших мемуара о равновесии и движении непрерывных сред, дав в них общую абстрактную и вместе с тем глубокую теорию гидродинамики.

Эта теория оказалась с самого же начала чрезвычайно плодотворной как в отношении гибкости применения общих принципов, так и в отношении объяснения некоторых явлений природы. Так, Эйлер объяснял общую причину ветров разностью давлений и температур воздушных масс, в частности причину муссонов и периодических ветров в Индии. Под его объяснения подпала фигура Земли й окружающих ее непрерывных сред, а также явления прилива. В своей общей теории Эйлер свел всю теорию движения непрерывных сред к двум дифференциальным уравнениям 2-го порядка и применил общие принципы к движению воды в сосудах и в трубах переменного сечения. Применяя свои общие уравнения к воздуху, Эйлер мог дать объяснение возникновения и распространения звука в духовых инструментах.

31. Теория объективов. В прежних трудах по диоптрике Эйлер для упрощения вычислений пренебрег взаимным расстоянием стекол, из которых состояли объективы, а также и их толщиной. Но это пренебрежение могло вредно отзываться на четкости изображения. Новые мемуары о составных объективах были напечатаны в XVIII томе «Novi Commentarii». В них Эйлер исправил недостатки прежних мемуаров и указал средства сделать инструменты еще более короткими и их поле зрения еще большим, чем прежде. Только новые вычисления Эйлера позволили осуществить этот прогресс. Соответствующие правила Эйлера для оптиков-конструкторов были опубликованы нашей Академией и тотчас же были переведены за границей.

32. Теория вероятностей. Общие нарекания в Германии на кассы страхования и обвинения в пристрастности то к предпринимателям, то к вкладчикам заставили Эйлера предпринять изыскания о безобидном ведении предприятий этого рода, насколько это позволяло несовершенство таблиц смертности. Эти изыскания Эйлера относительно вдовьих касс были напечатаны в 1776 г. Здесь, как и в своих мемуарах, относящихся к этому вопросу, Эйлер ищет усовершенствовать самую теорию вероятностей.

33. Научная продуктивность Эйлера. Трудно себе составить представление о научной продуктивности Эйлера; практически, по-видимому, она была безграничной. Некоторые указания на ее размеры может дать хотя бы следующий факт: Эйлер, находясь уже в преклонном возрасте, получил несколько странное, на наш взгляд, предложение от

ЭЙЛЕР (ПО ПОВОДУ 150-летия СО ДНЯ СМЕРТИ) 371

лиц, близко стоявших к правительству, оставить после своей смерти столько мемуаров, чтобы наполнять ими «Actes» нашей Академии наук* в течение 20 лет. Эйлер был человек твердого слова. Ни утрата зрения, ни недомогания преклонного возраста, ни огромное число сделанных им открытий не могли ни ослабить его жара работы, ни сокрушить его счастливо устроенный организм, ни истощить его творческого гения. В течение семи лет Эйлер представил Головину 70 мемуаров и оставил после смерти в готовом виде около 250 мемуаров.

Среди этих мемуаров нет ни одного, который не содержал бы нового открытия или важного результата, либо какой-нибудь новой точки зрения или указания на новую методу, которая могла бы повести к новым открытиям. Здесь мы находим новые счастливые интеграции, массу новых глубоких приемов математического анализа; глубочайшие изыскания о природе и свойствах целых чисел; остроумные доказательства некоторых утраченных теорем Ферма; решение множества очень трудных проблем о равновесии и движении твердых тел, тел гибких и упругих; объяснения нескольких кажущихся парадоксов; дальнейшее усовершенствование теории движения небесных тел, их взаимных действий и их иррегулярностей, поскольку вычисления, ведущиеся его сильными руками, позволяли оценить это численно.

Мемуары по теории чисел многочисленны. Эйлер занимается в них диофантовым анализом, доказывая многие свойства чисел,указанные раньше его без доказательства. Так, он доказывает, что всякое простое число вида 4/2 + 1 есть сумма двух квадратов. Эйлеру же принадлежит доказательство соотношения между числом вершин, ребер и граней многогранника. Соотношение это такое: сумма числа вершин и граней равна числу ребер плюс два. Такое соотношение подозревал еще Декарт, но только Эйлер доказал его в своих мемуарах.

34. Смерть Эйлера. Эйлер до самого дня своей смерти сохранял полнейшую ясность мышления и всю мощь своей творческой силы. В этом отношении на нем не сказались никакая деградация, ни постепенное угасание умственных сил, обычно сопровождающее преклонный возраст. Несколько головокружений за неделю были единственными предвестниками его смерти, последовавшей 7 сентября 1783 года. Еще в первых числах сентября Эйлер подверг вычислению полет аэростата, который был в ту эпоху большой новостью, имея в руках лишь те скудные данные, которые были тогда известны. Эйлер почти закончил весьма трудную интеграцию, которую это вычисление требовало. В самый день смерти Эйлер беседовал с Лекселлем в кругу сотрудников и учеников о новой планете. В этой беседе его и застигла смерть, происшедшая от удара. Эйлер умер 75 лет, 5 месяцев и 2 дней от роду. Эйлер имел большую семью; он женился в возрасте 25 лет и имел 13 человек детей, из которых 8 умерло в раннем детстве. В момент смерти Эйлер имел 26 внуков, и в настоящее время имеются представители его семьи, носящие ту же фамилию.

372 Н. Н. ЛУЗИН

35. Общая характеристика Эйлера. Несомненно, Эйлер имел крепкое и устойчивое сложение, которое выдержало столько болезней, притом столь сильных, и, главное, которое не было сломлено таким напряжением в работе. Эйлер обладал в высшей степени тем, что называется эрудицией. То лучшее, что имелось в его эпоху от античных писателей, Эйлер все прочел. Прежняя математическая литература ему была превосходно известна. Он мог без всякого колебания точно цитировать по памяти малейшие факты. Он знал еще медицину, ботанику, химию в гораздо большем размере, чем это было доступно ученому, не посвятившему себя всего этим дисциплинам.

Это было эффектом его изумительной памяти, вызывавшей общее удивление тем, что Эйлер сохранял в памяти столько фактов, совершенно чуждых ему и бесполезных для него. Эйлер мог читать наизусть всю Энеиду, с одного конца до другого, цитировать первый и последний стих на каждой странице того издания, которое он читал в молодости. Другим примером его памяти служит следующий факт. Эйлер давал своим внукам уроки по алгебре. Извлечение корней принуждало Эйлера предлагать им только такие числа, которые были точными степенями. Однажды, во время бессонницы, Эйлер начал находить их в уме и в одну ночь вычислил шесть первых степеней всех чисел, меньших 20. Через несколько дней, к общему изумлению, Эйлер все их прочел. Эйлер с изумительной легкостью переходил от самых серьезных размышлений к обычным разговорам, по миновании которых он мог мгновенно возобновить оставленную им нить мысли. Эйлер обладал прямым характером и, видя несправедливость, имел мужество говорить в лицо свое мнение, не считаясь с положением своего противника. Он загорался гневом очень легко, но столь же легко успокаивался и тогда не сохранял ни малейшего следа бывшего раздражения. Можно было бы думать, что столь большое число сделанных им открытий ослабило в нем то чувство интенсивной радости, которое возникает в уме, когда он начинает понимать новую истину,— радости, которая, по-видимому, геометрам более известна, чем кому-либо другому. Но Эйлер всегда был необыкновенно чувствителен к этому и всегда сильно и очень серьезно раздражался безразличным или просто спокойным видом своего собеседника, когда этот последний сообщал Эйлеру действительно хорошую мысль, пришедшую ему в голову.

Самым изумительным в Эйлере, конечно, остается то неустанное творчество и та работоспособность, которая роднит его с такими деятелями XVI в., каковы были Леонардо да Винчи и Микельанджело: Эйлер дал в течение своей жизни 756 исследований по самым разнообразным и труднейшим вопросам. Издание их потребует более 2000 печатных листов, К Эйлеру приложимо то восклицание, которое вырвалось у одного ученого при взгляде на «Codex Atlanticus» Леонардо да Винчи: «Мне бы не хватило жизни, чтобы просто переписать то, что этот человек здесь написал».