Pflichtvorlesung für den Studienschwerpunkt "Geometrie und Topologie", Wahlfach im Studienschwerpunkt "Algebra und diskrete Mathematik" im zweiten Studienabschnitt.

Die Betrachtung von Symmetrien gehört wohl zu den grundlegendsten Ideen der Mathematik. Solche Symmetrien bilden Gruppen und stellen eine der wichtigsten Quellen für Beispiele von Gruppen dar. Betrachtet man Symmetrien von Objekten mit einer zusätzlichen Struktur, dann übertägt sich in manchen Fällen diese Struktur auf die Symmetriegruppe. Im Fall von Symmetrien geometrischer Objekte wird die Symmetriegruppe selbst eine glatte Mannigfaltigkeit und die Gruppenoperationen sind glatte Abbildungen. So ein Objekt nennt man eine Lie Gruppe. Lie Gruppen als Symmetriegruppen spielen aber nicht nur in der Differntialgeometrie sondern in grossen Teilen der Mathematik und der theoretischen Physik eine sehr wichtige Rolle.

Ein Grundpfeiler der Theorie der Lie Gruppen ist, dass ein Großteil der (relativ komplizierten) Sturktur einer Lie Gruppe in ihrere Lie Algebra kodiert ist. Diese Lie Algebra ist ein viel einfacheres Objekt, nämlich ein endlichdimensionaler Vektorraum mit einer bilinearen Operation. Das Studium der Vebindung zwischen Lie Gruppen und Lie Algebren wird den Grundstock der Vorlesung bilden.

Über den Begriff des homogenen Raumes führen Lie Gruppen zu einer Fülle von überraschenden Beispielen von glatten Mannigfaltigkeiten, auf denen eine Lie Gruppe durch Symmetrien wirkt.

Den zweiten Schwerpunkt der Vorlesung wird die Theorie der kompakten Lie Gruppen und ihrer Darstellungen bilden. Am Ende der Vorlesung wird eine erste Einführung in die algebraische Beschreibung der Geometrie homogener Räume stehen, die ich im nächsten Sommersemester in einer Spezialvorlesung behandeln möchte.

Inhalt: Lie Gruppen und ihre Lie Algebren; Lie Untergruppen und homogene Räume; der Satz von Frobenius und einige Existenzresultate; kompakte Lie Gruppen und ihre Darstellungen; Geometrie homogener Räume.

Als Hintergrund zum Verständnis der Vorlesung genügt eine Vorlesung "Differentialgeometrie 1", gute Kenntnisse der Grundvorlesungen (vor allem lineare Algebra), sowie Grundkenntnisse aus Algebra (Gruppentheorie).

Zur Vorlesung wird es ein Skriptum in englischer Sprache geben, siehe http://www.mat.univie.ac.at/~cap/lectnotes.html.

On demand this course is taught in English.
 

Dieses Projektseminar ist der zentrale Treffpunkt des Initiativkollegs Differentialgeometrie und Lie Gruppen. Es dient der Diskussion von Arbeiten der Veranstalter, der KollegassistenInnen des IK und anderer Studierender. Die Teilnahme steht aber natürlich allen Studierenden offen, für Neueinsteiger stehen eigene Vortragsthemen zur Verfügung.