Pflichtvorlesung für den Wahlfachtopf "Geometrie und Topologie" im zweiten Studienabschnitt.

In der algebraischen Topologie ordnet man topologischen Räumen algebraische Invarianten (Zahlen, Gruppen, etc.) zu. Dies hilft einerseits zu erkennen, dass Räume topologisch verschieden sind, es zeigt aber auch, wie sich topologsiche Unterschiede "praktisch" auswirken. Im ersten Teil der Vorlesung werden wir Teile der Homotopietheorie besprechen. Hier sind die grundlegenden Konzepte einfach verständlich und geometrisch anschaulich ("Gummigeometrie"), die resultierenden Invarianten sind aber notorisch schwierig zu berechnen (auch für ganz einfache Räume wie etwa Sphären). Im zweiten Teil der Vorlesung wenden wir uns der (singulären) Homologietheorie zu. Hier sind die Grundkonzepte algebraisch viel anspruchsvoller, dafür erhält man Invarianten, die relativ einfach berechenbar sind. Mit Hilfe der Homologietheorie werden wir auch einige klassische Sätz, wie den Brouwer'schen Fixpunktsatz, die Sätze von der Invarianz der Dimension und der Domäne, und Verallgemeinerungen des Jordan'schen Kurvensatzes beweisen.

Inhalt: Grundlegende Homotopietheorie, Fundamentalgruppe und Überlagerungen, Simplizialkomplexe und CW Komplexe, höhere Homotopiegruppen, (singuläre) Homologietheorie, Relative Homologie, Anwendungen der Homologietheorie.

Als Hintergrund zum Verständnis der Vorlesung sollten die Grundvorlesungen, sowie die Einführungsvorlesungen "Grundbegriffe der Topologie" und "Algebra 1" genügen. Weiterführende Kenntnisse, etwa aus Differentialgeometrie, liefern sicher zusätzliche Perspektiven, sollten aber zum Verständnis nicht nötig sein.

Zur Vorlesung wird es ein Skriptum geben, dass im Sekretariat bzw. online über meine Homepage http://www.mat.univie.ac.at/~cap/lectnotes.html erhältlich sein wird.