On demand, this course will be taught in English; Information on the contents in English is available here.

Anrechenbar im Masterstudium als Vertiefungslehrveranstaltung aus den Studeinschwerpunkten "Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik" und "Geometrie und Toplogie".

Das Konzept von Symmetriegruppen ist eine der grundlegenden Ideen der Mathematik. In vielen Anwendungen erhält man in natürlicher Weise sogenannte Lie Gruppen, die auch mit analytischen Methoden behandelt werden können. Jeder Lie Gruppe ist eine Lie Algebra zugeordnet, also ein (endlichdimensionaler) Vektorraum mit einer bilinearen Operation, die gewisse Eigenschaften besitzt. Lie Algebren können sehr effektiv mit Methoden der linearen Algebra studiert werden und sind somit viel einfachere Objekte als Lie Gruppen, sie enthalten aber trotzdem sehr viele Informationen über die entsprechenden Lie Gruppen.

Die Vorlesung wird der allgemeinen Theorie der Lie Algebren sowie den Grundzügen der Strukturtheorie und der Darstellungstheorie der komplexen halbeinfachen Lie Algebren gewidmet sein. Je nach vorhandener Zeit möchte ich auch Zusammenhänge mit der Dartellungstheorie endlicher Gruppen, vor allem der Permutationsgruppen, besprechen. Lie Gruppen und ihre Verbindung zu Lie Algebren werden in der Vorlesung nicht benötigt, da sie aber für die Motivation der Theorie eine entscheidende Rolle spielen, werde ich diese Hintergründe am Anfang der Vorlesung kurz und informell besprechen.

Daher sind zum Verständnis der Vorlesung Kentnisse der Grundvorlesungen ausreichend, wobei diese Kenntnisse aber vor allem im Bereich der linearen Algebra solide sein sollten. Vorkenntnisse über Lie Gruppen oder Differentialgeometrie werden nicht benötig, können aber natürlich ein breitere Perspektive auf die Inhalte ermöglichen.

Es wird zur Vorlesung ein Skriptum in englischer Sprache geben, das (spätestens ab Semesterbeginn) online unter http://www.mat.univie.ac.at/~cap/lectnotes.html erhältlich sein wird. (Die derzeit verfügbare Version aus dem Sommersemster 2009 wird vermutlich noch geringfügig überarbeitet werden.) Das Skriptum soll aber nur eine Hilfestellung sein und kann keinesfalls den Besuch der Vorlesung ersetzen.

gemeinsam mit S. Haller

It will be possible to do this seminar in English, addtional information in English is below.

Das Seminar wird dem Thema Holonomie gewidmet sein, wobei wir zunächst das Konzept der Holonomie für Konnexionen auf Hauptfaserbündeln und den Zusammenhang zwischen Holonomie und Krümmung (Ambrose-Singer Theorem) besprechen werden. Im weiteren Verlauf des Seminars werden wir uns in Richtung der Berger-Klassifikation von irreduziblen Holonomigruppen von Riemann'schen Mannigfaltigkeiten bewegen. Wir werden dabei dem Text "Holonomy groups in riemannian geometry" von A. Clarke und B. Santoro folgen, der online unter http://www.impa.br/opencms/pt/biblioteca/pm/PM_39.pdf erhältlich ist. Das Seminar ist sowohl für Studierende im Master- als auch im Doktoratsstudium geiegnet.

The seminar will be devoted to the concept of holonomy. We will start by looking at holonomy of connections on principal fiber bundles and its relation to curvature (Ambrose-Singer theorem). We will then continue in the direction of M. Berger's classification of irreducible holonomy groups of Riemannian manifolds. We will follow the text "Holonomy groups in riemannian geometry" by A. Clarke and B. Santoro which is available online via http://www.impa.br/opencms/pt/biblioteca/pm/PM_39.pdf . The seminar is suitable both for master students and PhD students.