Diese Vorlesung ist an der Schnittstelle zwischen klassischer Geometrie und Differentialgeometrie angesiedelt. Seit Felix Klein's Erlanger Programm werden klassische Geometrien (Euklidische, affine, projektive, usw.) durch tansitive Wirkungen von Lie Gruppen beschrieben. In moderner Sprache ausgedrückt interessiert man sich für Objekte auf einem homogenene Raum G/H, die invariant unter der Wirkung der Gruppe G sind.

Ziel der Vorlesung ist zu zeigen, wie man die Bestimmung G-invarianter geometrischer Objekte auf (endlichdimensionale) Probleme der linearen Algebra zurückführen kann. Auf dem Weg zu diesen Resultaten werde ich einen beträchtlichen Teil des Begriffsapparats der modernen Differentialgeometrie entwickeln. Insbesondere werden verschieden Arten von Faserbündeln (Vektorbündel, Hauptfaserbündel, assoziierte Bündel) und von Konnexionen (lineare Konnexionen, Hauptfaserbündelkonnexionen, induzierte Konnexionen) besprochen. Je nach verbleibender Zeit werde ich am Ende der Vorlesung noch kurz über Cartan Geometrien sprechen, die die Verbindung von der Geometrie homogener Räume zu geometrischen Strukturen im Sinne der Differentialgeometrie darstellen.

Inhalt: Einführung und Beispiele, Faserbündel, homogene Faserbündel und invariante Schnitte, Konnexionen, invariante Konnenxionen auf homogenenen Bündeln, Cartan Geometrien.

Zum Verständnis der Vorlesung sing gute Kenntnisse der Vorlesung "Differentialgeometrie 1" sowie Grundkenntnisse über Lie Gruppen (vor allem die Korrespondenz zwischen Lie Gruppen und Lie Algebra) und homogene Räume erforderlich.

Ich werde Unterlagen zur Vorlesung in englischer Sprache zur Verfügung stellen. Die Vorlesung wird bei Bedarf in englischer Sprache gehalten.

Gemeinsam mit A. Kriegl und P. Michor

Dieses Projektseminar ist der zentrale Treffpunkt des Initiativkollegs Differentialgeometrie und Lie Gruppen. Es dient der Diskussion von Arbeiten der Veranstalter, der KollegassistenInnen des IK und anderer Studierender. Die Teilnahme steht aber natürlich allen Studierenden offen, für Neueinsteiger stehen eigene Vortragsthemen zur Verfügung.
 

gemeinsam mit P. Michor und W. Ruppert

Wir lesen weiter in dem Buch "Linear Algebraic Groups" von Armand Borel. Ein Neueinstieg am Beginn des Semesters ist möglich.