250081 VO Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.

Veranstalter: Prof. Henk Bruin

Bitte emailen Sie H. Bruin für weitere Informationen zu diesem Kurs.

Die Übungsgruppen werden geleitet von Dr. Mathias Beiglböck und Michael Tsiflakos.

Ankündigungen

Die Ergebnisse der schriftlichen Prüfung werden bald auf Univis erhaltlich sein. Für Einsicht in die Prüfungsskripten, bitte schicken Sie mir eine Email. Allerdings nicht vor 20 Juli.

Der erstfolgende schriftliche Prüfungstermin ist am Freitag 22 April 2016, 12:00-14:30 in 09.142. Der Stoff für die Prüfung finden Sie unten.

Zeitplan und Räume

Tag	Zeit	Hörsaal		von	bis
Montag	15:00-16:30	HS11	Übungen Beiglböck	9.03.2015	22.06.2015
Mittwoch	15:00-16:30	HS02	Übungen Beiglböck	11.03.2015	24.06.2015
Donnerstag	9:45-11:15	HS13	Vorlesung	05.03.2015	25.06.2015
Freitag	8:00-9:30	HS13	Vorlesung	06.03.2015	26.06.2015
Freitag	9:45-11.15	HS10	Übungen Tsiflakos	13.03.2015	26.06.2015

Fortgang und Aufgaben

Tag	Stoff	Aufgaben
Woche 1 5-6 März	Einführung -- Skriptum Kapitel I. W-Raum, Wahrs. nach Laplace, Permutationen usw. Stichproben mit/ohne Zurücklegen. Urnenmodell, Axiome von Kolmogorov
Woche 2 12-13 März	Zufallsvariablen Skriptum Kapitel II 1-2. Verteilungen und Dichten Binomiale und Geometrische Verteilung	Übungsblatt 1 Aufg. 1-8
Woche 3 19-20 März	WS-Verteilungen, Unabhängigkeit Skriptum Kapitel I 3, II 1-2. Bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes Binomialverteilung, Poissonverteilung Uniforme, Exponentielle, Gamma- und Normalverteilung.	Übungsblatt 1 Aufg. 9-16
Woche 4 26-27 März	Erwartungswert Skriptum Kapitel II 11. Definition und Eigenschaften.	Übungsblatt 2 Aufg. 1-8
Woche 5 16-17 April	Wegen Krankheit sind die Vorlesungen in dieser Woche ausgefallen.	Übungsblatt 2 Aufg. 10-17
Woche 6 23-24 April	Varianz, Zufallsvektoren Skriptum Kapitel II 11,6 Markov Ungleichung, Satz von Chebyshev Zufallsvektoren, Kovarianz Matrix	Test und Übungsblatt 3 Aufg. 1-8
Woche 7 30 April	Transformationen von ZV. Skriptum Kapitel II 8. Summen von Normalverteilten ZV, χ²-Verteilung.	Übungsblatt 3 Aufg. 9-16
Woche 8 7-8 Mai	χ²-Verteilung, Poissonverteilung, Skriptum Kapitel II 9-11 Mehrdimensionale Normalverteilung und χ²-Verteilungen, χ²-Test, Ableitung der Poissonverteilung.	Übungsblatt 4 Aufg 1-9.
Woche 9 15 Mai	Moment-erzuegende Funktion Skriptum Kapitel III, 2-3	Übungsblatt 4 Aufg 10-18.
Woche 10 21-22 Mai	Charakteristische Funktion Skriptum Kapitel III 3	Übungsblatt 5 Aufg 1-9
Woche 11 28-29 Mai	Zentraler Grenzwertsatz Skriptum Kapitel III 5 Anfang mit Statistik.	Übungsblatt 5 Aufg10-18
Woche 12 Juni 5	Konfidenz-Intervalle Skriptum Kapitel IV 2 Maximum Likelihoodschätzer	Übungsblatt 5 so weit wie es geht.
Woche 13 Juni 11	Hypothese-Testen. Skriptum Kapitel IV 3-4 H₀-Hypothese, Verwerfungsbereiche. Lineare Modell.	Übungsblatt 6 Aufg 1-8 Freitag: Test 2
Woche 14 Juni 18-19	Lineare Regression Skriptum Kapitel IV 6 Am Freitag besprechen wir eine alte Prüfung.	Übungsblatt 6 Aufg 1-8 Montag & Mittwoch: Test 2

Inhalt des Kurses

Dieses Modul bietet eine Einführung in grundlegende Konzepte und Ideen der Wahrscheinlichkeitstheorie und des stochastischen Gesichtspunkts in der Mathematik. Es vermittelt Grundkenntnisse über Statistik und die Aussagekraft statistischer Untersuchungen.

Zu den Themen dieser Vorlesung gehören: Wahrscheinlichkeitsbegriff, diskrete Wahrscheinlichkeitsräume, Laplace-Modelle, bedingte Wahrscheinlichkeiten, allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume, Axiome von Kolmogorov, Zufallsvariable und ihre Verteilung, Zufallsvektoren, Transformationsregeln; Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, momenterzeugende und charakteristische Funktionen; Unabhängigkeit, Gesetz der großen Zahlen, schwache Konvergenz, zentraler Grenzwertsatz; Grundzüge der Statistik, Punktschätzungen, statistische Tests.

Referenzen

Vorlesungsskriptum von Prof. F Hofbauer.
Karl Bosch, Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Vieweg + Teubner
Götz Kersting & Anton Wakolbinger, Elementare Stochastik, Birkhauser
Paul G. Hloel, Sidney C. Port & Charles J. Stone, Introduction to probability theory, Houghton Mifflin Company Boston, ISBN-13: 978-0395046364 ISBN-10: 039504636X
Kai Lai Chung, Elementary probability and stochastic processes, Springer Verlag New York, 1974. ISBN 0-387-90159-0
Norbert Henze, Stochastik für Einsteiger Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls, Springer

Leistungsbeurteilung

Die Leistungsbeurteilung für die VO erfolgt durch eine schriftliche Prüfung nach Ende der Lehrveranstaltung. Die Leistungsbeurteilung für die UE erfolgt aufgrund von Mitarbeit (Vorbereiten/Präsentieren von Übungsaufgaben an der Tafel) und Tests während der Lehrveranstaltung.

Stoff für die Prüfung:

Stoff für die Prüfung bezieht sich auf das Skriptum, bis auf einigen Stellen wo zusätzliche Buchausschnitte verwendet wurden, über die charakteristische Funktion und den zentralen Grenzwertsatz.
Einzelthemen sind:

Kombinatorische Probleme (Urnen-Modell), Münzwürfe (Bernoulli Experimente), Stichproben mit und ohne Zurücklegen.
Begriff des Wahrscheinlichkeitsraums (die Definition verwendet σ-Algebren). Wahrscheinlichkeit nach Laplace. Häufigkeitsdefinition von Wahrscheinlichkeit. Axiome von Kolmogorov. Stetigkeitssätze.
Zufallsvariabelen. Kontinuierlich und diskret. Verteilungsfunktionen und Dichten.
Abhängigkeit und Unabhängigkeit. Bedingte Wahrscheinlichkeiten. Satz von Bayes und Anwendungen.
Pascalscher Dreieck und Bernoulli-Verteilung Bin(n,p). Limesverteilung wenn n→∞ (wenn p fest und wenn np∼μ fest)
Poisson-Verteilung, Geometrische Verteilung, Normalverteilung, Uniforme Verteilung, Exponentielle Verteilung, Gamma-Verteilung, und deren Anwendungen. Cauchy-Verteilung.
Erwartung und Varianz. Definitionen, Bedeutung und Eigenschaften. Markov und Tschebyschev Ungleichungen.
Zufalls-Vektoren. Mehrdimensionale Verteilungen und Dichten, Marginalverteilungen. Kovarianz and Kovarianzmatrix. Mehrdimensionale Normalverteilung und ihre Eigenschaften.
Transformationen von Dichten. Transformationssatz. Dichten von X², aX+bY, XY, X/Y, max(X,Y) und min(X,Y).
Summen von Normalverteilten ZV und deren Quadraten. χ²-Verteilung.
Moment-erzeugende und charakteristische Funktion, und deren Eigenschaften. Formel für übliche Verteilungen. Umkehrformel für die charakteristische Funktion. Levy Stetigkeitssatz.
Gesetz der großen Zahlen. Zentraler Grenzwertsazt, und deren Bedeutung und Anwendungen.
Grundzüge der Statistik. Stichproben. Was ist ein statistischer Test?
Hypothese Testen. Null Hypothese H₀. Konfidenzintervalle.
Schätzer für Erwartung und Varianz. Erwartungstreue Schätzer. Maximum Likelihoodschätzer
Lineare Regression.

Eine Prüfung letztes Jahres.

Kursmaterial (Hand-outs/Aufgaben/Links)

Übungsblatt 1
Wikipedia Urnenmodell mit und ohne Zurücklegen.
Wikipedia (auf Englisch) über Bernoulli trials
Über den Pascalschen Dreieck, siehe auch Wikipedia
Tabelle der Binomialverteilung.
Youtube über das Galton Brett
Übungsblatt 2
Hand-out von 26 März 2015.
Übungsblatt 3
Blog von Terence Tao über das Gesetz der großen Zahlen
Übungsblatt 4
Wikipedia χ²-Verteilung und χ²-Test.
Übungsblatt 5
Buch-ausschnitt über die charakteristische Funktion und den zentralen Grenzwertsatz
Eine Prüfung letztes Jahres.
Übungsblatt 6
Eine alte Prüfung die wir am Freitag 19 Juni besprechen.

Updated October 5 2015