250009 VO Gewöhnliche Differentialgleichungen

Lecturer: Prof. Henk Bruin

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Inhalt des Kurses

Was immer Sie modellieren wollen, ob in der Physik, Biologie, Technik, oder Wirtschaft, meistens wird das Modell eine Differentialgleichung enthalten. Diese Vorlesung soll Ihnen eine Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen in Hinblick auf dynamische Systeme (Evolutionsgleichungen) geben. Dabei wird es uns weniger um das Auffinden expliziter Lösungen (was sowieso nur in den einfachsten Fällen möglich ist) als um qualitative Eigenschaften der Lösungen (z.B., das Langzeitverhalten) gehen.
Zu den Themen dieser Vorlesung gehören:
- Einzelne Lösungsmethoden;
- Existenz und Eindeutigkeitsätze der Lösung einer Differentialgleichung.
- Lösung linearer Systeme von Diffentialgleichungen;
- Anschauung von Differentialgleichung als dynamische Systeme;
- Klassifikation von Gleichgewichtspunkten (Satz von Hartman-Grobman);

Referenzen

• Vorlesungsskriptum von Prof. G. Teschl.
• Mitgeschriebenes Skriptum von Kevin Islami. (Korrigierte Version von 19 Juni.)
• Liste von Übungen von Kevin Islami. (Version von 19 Juni.)
• P. Hartman, Ordinary Differential Equations, Wiley, New York, 1964.
• M. W. Hirsch, S. Smale, and R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2004.
• K. Jänich, Analysis für Physiker und Ingenieure. Second edition. Springer-Lehrbuch. Springer-Verlag, Berlin, 1990.
• C. Robinson, Introduction to Dynamical Systems: Discrete and Continuous, Prentice Hall, New York, 2004.

Leistungsbeurteilung

Die Leistungsbeurteilung für die VO erfolgt durch eine schriftliche Prüfung nach Ende der Lehrveranstaltung. Die Leistungsbeurteilung für die UE erfolgt aufgrund von Mitarbeit (Vorbereiten/Präsentieren von Übungsaufgaben) während der Lehrveranstaltung.

Stoff für die Prüfung:

• Klassifizierung von Differentialgleichungen:
  • autonom/nicht-autonom, Umschreibung zu 1ster Ordnung autonomen Differentialgleichungssystemen;
  • homogen/nicht-homogen;
  • linear und Lösungen linearer Gleichungen,
• Lösungsmethoden:
  • Separabilität;
  • Berechnung exp(At) für Matrizen A;
  • Koordinatentransformationen;
  • Exakte Gleichungen und Integrierender Faktor.
  • Anwendung von Isoklinen und Sub/Superlösungen.
• Harmonische Oszillator und Variationen
  • Resonanz
  • Anwendungen in der Newtonsche Mechanik und Elektrizitätslehre.
• Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen (Beweisskizze):
  • Lipschitzbedingung;
  • Kontraktionsprinzip auf Banachräumen;
  • Picard-Iteration;
  • Grönwall Lemma (Formulation und Anwendung, nicht Beweis)
• Nicht-autonome lineare Gleichungen
  • Fundamentale Matrixlösung (Definition und Berchnung in Spezialfällen);
  • Wronski Determinante;
  • Abelsche Identität = Liouville Formel;
• Klassifizierung von stationären Punkten
  • Quellen, Senken, Sattelpunkte, Zentren;
  • Lyapunov, asymptotisch und exponentiel stabil;
  • Lyapunov Funktionen;
  • Anwendungen dieser Technniken auf die Lotka-Volterra Gleichungen;
• Terminologie und Eigenschaften von Grundbegriffe der Dynamische Systeme:
  • Vektorfelder, Orbits ( = Trajektorien);
  • ω- und α-limes Mengen;
  • Gradientenfelder und Lie-Ableitung;
  
  

  Fortgang und Aufgaben

  Tag	Stoff	Aufgaben
  Woche 1
  1/3/2016	Einführung	Übungsblatt
  3/3/2016	Lineare Gleichungen 1er Ordnung Terminologie
  Woche 2
  8/3/2016	Newtonsche Mechanik	Teschl Seite 8 Problem 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, Seite 11-12 Problem 1.9, 1.12
  10/3/2013	Lösungsmethoden, Separabele Gleichungen
  Woche 3
  15/3/2016	Koordinatentransformationen Isoklinen, Sub-/Superlösungen	Teschl Seite 12 Problem 1.15, Seite 17-18 Problem 1.18, 1.19, 1.21
  17/3/2013	Lipschitz stetigkeit. Sub-/Superlösungen und Eindeutigkeit
  Woche 4
  5/4/2016	Banach Kontraktionsprinzip	Teschl Wie in Woche 3, denn es gibt noch genüig viele: Seite 12 Problem 1.15, Seite 17-18 Problem 1.18, 1.19, 1.21
  7/4/2013	Picard-Iteration, Satz zur Existenz und Eindeutigkeit
  Woche 5
  12/4/2016		Teschl Seite 17-18 Problem 1.18, 1.19 (und Lösen Sie die Diff. Gleichung!), 1.21 (falls noch nicht fertig) 1.22, 1.23, Seite 39 Problem 2.6, 2.7
  14/4/2013	Übungstest 1
  Woche 6
  19/4/2016	Resonanz in Oszillatoren.	Teschl 1.22, 1.23, Seite 39 Problem 2.6, 2.7
  21/4/2013	Stetigkeit in Anfangswertproblemen.
  Woche 7
  26/4/2016	Stetigkeit in Anfangswertproblemen Lineare Systeme	Teschl Seite 48 Problem 2.11, 2.12, 2.13, 2.15 Seite 79 Problem 3.17, 3.18, 3.19
  28/4/2013	Lineare Systeme
  Woche 8
  3/5/2016	Stationäre Punkte und Stabilität	Teschl Seite 65-66 Problem 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, Seite 72-73 Problem 3.9, 3.10
  5/5/2016	Himmelfahrt, keine Vorlesung
  Woche 9
  10/5/2016	Senken, Quellen, Sattel, Zentren	Teschl siehe Woche 8 (denn es sind noch viele Aufgaben übrig geblieben.)
  12/5/2016	Lotka-Volterra Gleichungen (Teschl, Kapitel 7) Lineare Räeme von Lösungen
  Woche 10
  17/5/2016	Keine Vorlesung wegen Pfingsten	Teschl siehe Woche 8 (denn es sind noch viele Aufgaben übrig geblieben.)
  19/5/2016	Nicht-autonome Lineare Systeme
  Woche 11
  24/5/2016	Nicht-autonome Lineare Systeme Vektor-Felder	Teschl Seite 79: 3.19, Seite 85-85: 3.25, 3.27, 3.30.
  26/5/2016	Frohleichnam, keine Vorlesung
  Woche 12
  31/5/2016	Dynamische Systeme (Kapitel 6) ω und α-Limes Mengen.	Teschl 3.30, 3.31, 3.33, 3.35
  2/6/2016	ω und α-Limes Mengen Gradient Vektor-Felder
  Woche 13
  7/6/2016	Gradient Vektor-Felder	Teschl 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.7, 6.8
  9/6/2016	Lyapunov-Funktionen Das Lorenz System
  Woche 14
  14/6/2016	Lyapunov-Funktionen Probeprüfung	Teschl 6.10, 6.18, 6.19, 6.20, 6.21.
  16/6/2016	Übungstest 2
  Woche 15
  21/6/2016	Probeprüfung	Teschl wird herzlich bedankt!
  23/6/2016	Ich beantworte noch Fragen in der Vorlesung 16:45: Prüfung in HS4

  Rektorstag März 11, Ostern: März 21-April 3, Himmelfahrt Mai 5, Pfingsten: Mai 14-17, Frohleichnam 26 Mai.

  Kursmaterial (Hand-outs/Aufgaben)

  • Übungsblatt für Woche 1.
  • Zitat von Pierre Simon de la Laplace:
    "Wir müssen den gegenwärtigen Zustand des Weltalls als die Wirkung seines früheren Zustands einerseits und als Ursache des darauffolgenden andererseits betrachten. Eine Intelligenz, die für einen gegebenen Augenblick alle in der Natur wirkenden Kräfte sowie die gegenseitige Lage der sie zusammensetzenden Elemente kennen würde..., könnte in derselben Formel die Bewegungen der größten Weltkörper wie des leichtesten Atoms umschließen, nichts wäre für sie ungewiß und Zukunft wie Vergangenheit würden ihr offen vor Augen liegen..
  • Oszillatoren und Differentialgleichungen aus der Lehre der elektrischen Ströme:

    Stromkreis	Spule (Wechselstromwiderstand)	Widerstand	Kondensator
    dV/dt =L d2I/dt2 + R dI/dt + I/C V = Spannung, I = Strom	V = L dI/dt L = Induktivität	V = IR Gesetz von Ohm	V = Q/C mit I = dQ/dt Q = Ladung, C = Kapazität

  • Tacoma Bridge auf youtube und noch ein mal.
  • Ein Applet für das Lorenzsystem.
  • Eine Probeprüfung (Aufgabe 1, 5, 6, 7).
  • Noch eine Probeprüfung (Aufgabe 1, 4, 5).

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  Updated Juni 06 2016