250011 VO Gewöhnliche Differentialgleichungen

Lecturer: Prof. Henk Bruin

Bitte emailen Sie H. Bruin für weitere Information zu diesem Kurs.

Ankündigungen

Der zweite Test findet statt am Dienstag 21 Jänner 10-11 Uhr (in HS11). Der Stoff ist gleich dem der Übungen seit Dezember (also zweite Hälfte der Übungen.
Die beste Note der zwei Tests zählt - und bestimmt so ungefähr ein Viertel der Note für die Übungen.

Deswegen fallen die Übungen am Februar 21/22 aus. Am Februar 28/29 machen wir die übrichgebliebenen Übungen.

Für die mündliche Prüfung, bitte Schreiben Sie mir eine Email um einen Termin zu vereinbaren. Verfügbare Zeiten: erste Hälfte von Februar (Feb 5-18), erste Woche von März, oder in April oder danach.

Stoff für die Prüfung:

Klassifizierung von Differentialgleichungen:
- autonom/nicht-autonom, Umschreibung zur 1ste Ordnung autonome Differentialgleichungssystemen;
- homogen/nicht-homogen;
- linear und Lösungen linearer Gleichungen,
Lösungsmethoden:
- Separabilität;
- Berechnung exp(At) für Matrizen A;
- Koordinatentransformationen;
- Integrierender Faktor.
Harmonische Oszillator und Variationen (auch wie die aus den Newtonsche Bewegungsgleichungen und Gleichungen der Elektrizitätslehre vorhergehen).
Anwendung von Isoklinen und Sub/Superlösungen.
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen (Beweisskizze):
- Lipschitzbedingung;
- Kontraktionsprinzip auf Banachräumen;
- Picard-Iteration;
- Gronwall Lemma (Formulation und Anwendung, nicht Beweis)
Poincaré Abbildungen (Konstruktion, Eigenschaften, Anwendung)
Nicht-autonome lineare Gleichungen
- Fundamentale Matrizlösung (Definition und Berchnung in Spezialfällen);
- Wronski Determinante;
- Liouville Formel;
Klassifizierung von stationären Punkten
- Quellen, Senken, Sattelpunkte, Zentren;
- Lyapunov, asymptotisch und exponentiel stabil;
- Lyapunov Funktionen;
Bifurkationen (Pitchfork, Sattelknoten, Transkritisch, Hopf)
Terminologie und Eigenschaften von Grundbegriffe der Dynamische Systeme:
- Vektorfelder, Bahnen (=Orbits);
- Gradientenfelder und Lie-Ableitung;
- ω-limes Mengen;
- Attraktore, Anziehungsbereiche und Fallen (trapping regions);
- Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten;
Satz von Poincaré-Bendixson + Beweisskizze.
Anwendungen dieser Technniken auf
- Lotka-Volterra Gleichungen;
- Liénard und Van der Pol Gleichungen;
- Lorenz Gleichungen.

Fortgang und Aufgaben

Tag	Stoff	Aufgaben
Woche 1
1/10/2013	Einführung
Woche 2
7/10/2013	Newtonsche Mechanik/Terminologie	Problem 1.2 (Teschl Intro page 6)
8/10/2013	Separabele Gleichungen
Übungen
8 & 9/10/2013	Terminologie & lineare Gleichungen	Teschl Seite 8: Probl. 1.3 - 1.8 & Seite 11 Probl. 1.9.
Woche 3
14/10/2013	Koordinaten-Transformationen	Überprüfen Sie die Formeln (1.48)-(1.53) (Teschl Seite 15)
Übungen
8 & 9/10/2013		Keine
Woche 4
21/10/2013	Integrierender Faktor, Lipschitz stetig, Eindeutigkeiten Lösungen	Teschl Probl. 1.22, Abschnitt 1.5
22/10/2013	Qualitativer Analysis	Teschl Abschnitt 1.5
Übungen
22 & 23/10/2013		Teschl Probl. 1.9. Probl. 1.12, Probl. 1.15, Probl. 1.19 (Finden Sie die Lösung trotzdem/find the solution too)
Woche 5
28/10/2013	Metrische Raüme, Kontraktionsprinzip, Existenz von Lösungen, Lindelöf-Picard Iteration, Gronwall Ungleichung	Teschl Abschnitt 2.1 und 2.2
29/10/2013	Abhängigkeit von Anfangswerten,	Teschl Abschnitt 2.4
Übungen
22 & 23/10/2013		Teschl Probl. 1.23, Probl. 1.25 Probl. 1.27
Woche 6
4/11/2013	Störungstheorie. Lineare Gleichungen in Dimension n	Teschl Abschnitt 2.5, 3.1, 3.2
5/11/2013	Lineare Gleichungen der Ordnung n	Teschl Abschnitt 3.3,
Übungen
5 & 6/11/2013		Teschl Probl. 2.2, Probl. 2.6, Probl. 2.7, Prob. 2.16.
Woche 7
11/11/2013		Ausgefallen wegen Krankheit
12/11/2013		Ausgefallen wegen Krankheit
Übungen
12 & 13/11/2013		Teschl Ausgefallen
Woche 8
18/11/2013		Teschl Abschnitt 3.3 & 3.4
19/11/2013		Ausgefallen
Übungen
19 & 20/11/2013		Teschl Probl. 3.9, Probl. 3.13, Probl. 3.15, Prob. 3.18.
Woche 9
25/11/2013		Teschl Abschnitt 3.4 & 6.1
26/11/2013		Teschl Abschnitt 6.2
Übungen
26 & 27/11/2013		Teschl Probl. 3.20, Probl. 3.27, Probl. 3.30, Prob. 3.31.
Woche 10
2/12/2013		Keine Vorlesung
3/12/2013		Test 10-10.45
Übungen
3 & 4/12/2013		Keine Übungen aber Test am Dienstag 3/12
Woche 11	ω-limes Mengen, Poincaré Abbildung
9/12/2013		Teschl Abschnitt 6.3 & 6.4
10/12/2013	Stabilität und Bifurkationen	Teschl Abschnitt 6.5
Übungen
10 & 11/12/2013		Teschl Probl. 6.1, Probl. 6.4 (aber erfült dieses Φ(t,x) tatsächlich Formel (6.11)?), Probl. 6.10, Prob. 6.12.
Woche 12
16/12/2013	Lyapunov Funktionen	Teschl Abschnitt 6.6
17/12/2013		Übungsgruppe 2 um 10.
Übungen
17/12/2013		Teschl Probl. 6.15, Probl. 6.19, Probl. 6.21
Woche 13
7/1/2014	Liénard/Van der Pol Gleichung	Teschl Abschnitt 7.2
Übungen
7 & 8/1/2014		Teschl Probl. 7.2, Probl. 7.4, Probl. 7.8
Woche 14
13/1/2014	Poincaré-Bendixson	Teschl Abschnitt 7.3
14/1/2014
Übungen
14 & 15/1/2014		Teschl Probl. 7.10, 7.13, Probl 8.1, 8.2
Woche 15
20/1/2014	Attraktore, Stabiele/Instabiele Mannigfaltigkeiten	Teschl Abschnitt 8.1
14/1/2014
Übungen
21/1/2014		Teschl Test
Woche 16
27/1/2014	Das Lorenz System	Teschl Abschnitt 8.2
28/1/2014
Übungen
14 & 15/1/2014		Teschl Probl. 7.13, Probl 8.1, 8.2

Zeitplan und Räume

Tag	Zeit	Hörsaal		von	bis
Montag	9:00-10:45	HS13	Vorlesung	07.10.2013	20.01.2014
Dienstag	9:00-9:45	SR12	Übungen (Deu)	08.10.2013	21.01.2014
Dienstag	10:00-10:45	HS11	Vorlesung	01.10.2013	21.01.2014
Mittwoch	12:15-13:00	HS02	Exercises (Eng)	09.10.2013	22.01.2014

Inhalt des Kurses

Was immer Sie modellieren wollen, ob in der Physik, Biologie, Technik, oder Wirtschaft, meistens wird das Modell eine Differentialgleichung enthalten. Diese Vorlesung soll Ihnen eine Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen in Hinblick auf dynamische Systeme (Evolutionsgleichungen) geben. Dabei wird es uns weniger um das Auffinden expliziter Lösungen (was sowieso nur in den einfachsten Fällen möglich ist) als um qualitative Eigenschaften der Lösungen (z.B., das Langzeitverhalten) gehen.
Zu den Themen dieser Vorlesung gehören:
- Einzelne Lösungsmethoden;
- Existenz und Eindeutigkeitsätze der Lösung einer Differentialgleichung.
- Lösung linearer Systeme von Diffentialgleichungen;
- Anschauung von Differentialgleichung als dynamische Systeme;
- Klassifikation von Gleichgewichtspunkten (Satz von Hartman-Grobman);

Referenzen

Vorlesungsskriptum von Prof. G. Teschl
P. Hartman, Ordinary Differential Equations, Wiley, New York, 1964.
M. W. Hirsch, S. Smale, and R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2004.
K. Jänich, Analysis für Physiker und Ingenieure. Second edition. Springer-Lehrbuch. Springer-Verlag, Berlin, 1990.
C. Robinson, Introduction to Dynamical Systems: Discrete and Continuous, Prentice Hall, New York, 2004.

Leistungsbeurteilung

Die Leistungsbeurteilung für die VO erfolgt durch eine mündliche Prüfung nach Ende der Lehrveranstaltung. Die Leistungsbeurteilung für die UE erfolgt aufgrund von Mitarbeit (Vorbereiten/Präsentieren von Übungsaufgaben) während der Lehrveranstaltung.

Kursmaterial (Hand-outs/Aufgaben)

Applet

Updated October 1 2013