Vorlesung Algebra

Christoph Baxa

250017 Algebra, Montag und Dienstag 9:45 bis 11:15, Hörsaal 11 (OMP 1), Beginn am 5. Oktober 2015.

Dies ist die Fortsetzung meiner Vorlesung Algebraische Strukturen im WS 2014/15. Ich werde im Lauf des Semesters einiges zu dieser Vorlesung ergänzen, für das nicht mehr genug Zeit war.

• Weiters werden wir zum Thema Gruppen die folgenden Themen behandeln: Kompositionsreihen und Satz von Jordan-Hölder, Aktionen von Gruppen auf Mengen, Sylowsätze.
• Zum Thema Moduln werden wir die folgenden Begriffe und ihre Eigenschaften behandeln: Teilmoduln und Quotienten, Homomorphiesatz, äußere und innere direkte Summe, Erzeugendensysteme, freie Moduln, Endomorphismenringe.
• Zum Thema Körper werden wir die folgenden Begriffe und ihre Eigenschaften behandeln: Endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe, ganze und algebraische Elemente, Norm und Spur, normale und separable endliche Körpererweiterungen, Hauptsatz der Galoistheorie, Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale, endliche Körper.

Eine getippte Mitschrift dieser Vorlesung finden Sie unter der Adresse http://homepage.univie.ac.at/a1326524/Algebra_2015.pdf. Bitte beachten Sie, dass es sich dabei um kein offizielles Skriptum handelt, d.h. ich garantiere nicht für die Vollständigkeit und Richtigkeit!

Falls Sie meine Vorlesung im WS 2014/15 nicht besucht haben, können Sie anhand einer getippten Mitschrift meiner Vorlesung Algebraische Strukturen im WS 2012/13 einen Eindruck gewinnen. Bitte beachten Sie, dass es sich dabei um kein offizielles Skriptum handelt, d.h. ich garantiere nicht für die Vollständigkeit und Richtigkeit! Außerdem habe ich im WS 2012/13 mehr Stoff behandelt als im WS 2014/15 und ein paar Umstellungen vorgenommen. Die wichtigsten Unterschied sind (alle Verweisen beziehen sich auf die oben genannte Mitschrift aus dem WS 2012/13):

• In Abschnitt 1.1 habe ich die Begriffe Halbgruppe und Monoid eingeführt und (wo es geht) Resultate für diese Strukturen formuliert
• Bei Lemma 21 habe ich die entsprechenden Aussagen über Normalteiler eingefügt (siehe Bsp. 31 in den Übungsbeispielen für das WS 2014/15)
• Lemmata 31 und 32 über exakte Folgen habe ich ausgelassen
• Bei Lemma 45 habe ich nur das anschließende Beispiel bewiesen (d.h. für n>2 wird A_n von den Permutationen der Gestalt (1 2 n) mit n>2 erzeugt)
• Lemma 46 habe ich ausgelassen und Satz 47 nur in einer Bemerkung erwähnt
• Abschnitt 1.6 über direkte Produkte von Gruppen habe ich ausgelassen
• Die Begriffe Linksnullteiler, Rechtsnullteiler, Nullteiler und Integritätsbereich habe ich in Abschnitt 2.1 vorgezogen
• In Lemma 67 habe ich bewiesen, dass der Durchschnitt beliebig vieler Unterringe ein Unterring ist
• Bei Lemma 72 habe ich bewiesen, dass das Bild eines Unterrings unter einem Homomorphismus ein Unterring ist
• Den Begriff maximales Ideal habe ich für beliebige Ringe eingeführt (und nicht nur für kommutative Ringe)
• Satz 87 war der letzte Satz in der Vorlesung, insbesondere habe ich die Abschnitte 1.5 (Faktorisierung in kommutativen Ringen) und 1.6 (Polynomringe) ausgelassen

Es ist dies das letzte Mal, dass die Algebra nach dem alten Studienplan gehalten wird. (Darin war eine zweistündige Vorlesung Algebraische Strukturen und eine vierstündige Vorlesung Algebra vorgesehen.) Wenn Sie nach dem neuen Studienplan studieren (in dem zwei dreistündige Vorlesungen Algebra 1 und Algebra 2 vorgesehen sind), können Sie diese Vorlesung eventuell anrechnen lassen - was aber nicht immer sinnvoll ist! Bitte informieren Sie sich bei der Studienprogrammleitung oder der Studienrichtungsvertretung, ob der Besuch der Vorlesung in Ihrem Fall sinnvoll ist.

Da ich schon mehrmals gefragt worden bin, wo man den Stoff dieser Vorlesung in den getippten Mitschriften aus dem WS 2012/13 und WS2013/14 findet, folgt eine kurze Übersicht:

• Abschnitt 3.1 entspricht Abschnitt 1.6 (WS 2012/13).
• Die Abschnitte 3.2 bis 3.4 entsprechen den Abschnitten 3.1 bis 3.3 (WS 2013/14). Zusätzlich enthält Abschnitt 3.4 den Beweis der folgenden beiden Sätze:
  • Die Gruppe A_n ist einfach wenn n>4 ist (mit einem Beweis, der entscheidend die Sylowsätze verwendet).
  • Ist G eine endliche Gruppe, so sind die folgenden Aussagen äquivalent:
    (i) Für jede Primzahl p besitzt G genau eine p-Sylowgruppe
    (ii) Für jede Primzahl p ist jede p-Sylowgruppe von G ein Normalteiler
    (iii) G ist inneres direktes Produkt seiner Sylowgruppen
• Der Anhang zu Kapitel 3 (Drei Anwendungen der Gruppentheorie) ist in keiner der beiden Mitschriften enthalten. Er behandelt das 14-15-Puzzle, den Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch und den Verhoeff-Algorithmus.
• Abschnitt 4.1 enthält Lemma 88, Satz 89 und Korollar 90 aus Abschnitt 2.4 (WS 2012/13).
• Abschnitt 4.2 enthält Lemma 191 bis Korollar 195 aus Abschnitt 5.1 (WS 2013/14).
• Abschnitt 4.3 entspricht weitgehend Abschnitt 2.5 (WS 2012/13), ist aber etwas detaillierter. Zusätzlich ist Lemma 179 aus Abschnitt 4.4 (WS 2013/14) enthalten. Lemma 180 aus Abschnitt 4.4 (WS 2013/14) wurde im nachfolgenden Abschnitt als Nachtrag bewiesen. Die Definition der größten gemeinsamen Teiler von Elementen eines faktoriellen Rings weicht von der im WS 2013/14 etwas ab.
• Abschnitt 4.4 entspricht weitgehend Abschnitt 2.6 (WS 2012/13), enthält aber eine genaue Diskussion des Einsetzhomomorphismus sowie Lemma 181 bis Satz 185 aus Abschnitt 4.4 (WS 2013/14). Die Definiton des Inhalts eines Polynoms weicht dabei von der im WS 2013/14 etwas ab. Ich habe diesmal einen weniger abstrakten Beweis des Eisensteinschen Irreduzibilitätskriteriums verwendet.
• Der Anhang zu Kapitel 4 gibt einen kurzen Überblick über Polynomringe in mehreren Unbestimmten. Im wesentlichen beschreibt er ihre Konstruktion sowie Korollar 178 und Korollar 186 aus Abschnitt 4.4 (WS 2013/14).
• Abschnitt 5.1 enthält Lemma 187, Satz 189 und Korollar 190 aus Abschnitt 5.1 (WS 2013/14).
• Abschnitte 5.2 und 5.3 entsprechen den Abschnitten 5.2 und 5.3 (WS 2013/14).
• Der Anhang zu Kapitel 5 gibt einen kurzen Überblick über die wichtigsten Begriffe und Resultate aus den Abschnitten 5.4 und 5.5 (WS2013/14).

Es gibt ein großes Angebot an Lehrbüchern der Algebra. Ich habe bei der Vorbereitung unter anderem die folgenden Bücher verwendet:

• G. Fischer, Lehrbuch der Algebra
• T. W. Hungerford, Algebra
• J. C. Jantzen, J. Schwermer, Algebra
• S. Lang, Algebra

250018 Übungen zu Algebra

1. Gruppe: Gehalten von Christoph Baxa, Dienstag 11:30 - 13 Uhr, Hörsaal 2 (OMP 1), Beginn am 13. Oktober 2015. Evaluationsergebnisse
2. Gruppe: Gehalten von Michael Schlosser, Dienstag 13:15 - 14:45, Hörsaal 11 (OMP 1), Beginn am 13. Oktober 2015.

In den Übungen wird der Stoff der Vorlesung anhand konkreter Beispiele wiederholt und vertieft. Ziel ist es, den Stoff der Vorlesung in aktives, anwendbares Wissen zu verwandeln.

Der Ablauf der Übungen wird folgermaßen sein: Die TeilnehmerInnen bereiten vorher bekanntgegebene Beispiele vor, die dann in den Übungen besprochen werden. Voraussetzung für positive Benotung sind die Lösung von mindestens 60% der Übungsbeispiele, die korrekte Präsentation von mindestens drei Lösungen an der Tafel und die regelmäßige Beteiligung an der Diskussion der Übungsbeispiele. Bei positiver Benotung setzt sich die Note zu gleichen Teilen aus dem Anteil der vorbereiteten Beispiele und der Anzahl und Qualität der Tafelmeldungen zusammen.

Die Übungsbeispiele können unter der Adresse www.mat.univie.ac.at/~baxa/bspeWS1516.pdf im pdf - Format heruntergeladen werden. Bitte bereiten Sie für die erste Übungsstunde am 13.10.2015 die Beispiele 1 bis 9 vor.

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