Seminar (Zahlentheorie)

Elliptische Kurven

Christoph Baxa

250023 Seminar (Zahlentheorie), Donnerstag 15 - 17 Uhr, Seminarraum D 1.03 (UZA 4), Vorbesprechung am 2. Oktober 2008.


Eine elliptische Kurve ist die Lösungsmenge einer kubischen Gleichung - also sozusagen der nächste Schritt nach den Kegelschnitten, die ja Kurven zweiter Ordnung sind. Man kann ihre Gleichung in der Regel auf die Weierstraßsche Normalform

y2=x3+ax+b
bringen. Sind dabei a und b rationale Zahlen und K ein Körper der Charakteristik 0, so kann man die Menge aller Lösungen (x,y) betrachten, die in K2 liegen, also z.B. die Punkte mit rationalen, reellen oder komplexen Koordinaten. Auf der Menge der Punkte E(K), die auf der elliptischen Kurve liegen und Koordinaten in K haben, kann man eine Addition einführen, durch die E(K) zu einer abelschen Gruppe wird. Geometrisch entspricht diese Summenbildung der folgenden Konstruktion (hier auf den reellen Punkten der Kurve):

Um die Punkte P und Q zu addieren, verbindet man sie durch eine Gerade. Man kann zeigen, daß diese Gerade mit der Kurve einen dritten Schnittpunkt R haben muß. Diesen dritten Schnittpunkt spiegelt man an der x-Achse, um die Summe P+Q zu erhalten. (Die Kurve muß wegen der Gestalt der Weierstraßschen Normalform symmetrisch bezüglich der x-Achse sein.)

Elliptische Kurven sind ein wichtiges und sehr aktives Teilgebiet der modernen Zahlentheorie. Sie werden in der Kryptographie angewendet und spielen eine entscheidende Rolle in Andrew Wiles Beweis des großen Satzes von Fermat. In diesem Seminar wollen wir eine erste Einführung in ihre arithmetische Theorie geben und uns mit den Punkten mit rationalen Koordinaten - also E(Q) - beschäftigen. Ziel ist es, die folgenden beiden Sätze zu beweisen:

Wir werden dazu Teile des Buches Rational Points on Elliptic Curves von Joseph H. Silverman und John Tate lesen. Eine Liste mit Druckfehlern und Ergänzungen (von Joseph Silvermans Homepage) kann man unter der Adresse http://www.mat.univie.ac.at/~baxa/RPECErrata.pdf finden. Die Teilnahme sollte etwa ab dem Ende des ersten Studienabschnitts möglich sein.

Weitere Lehrbücher über elliptische Kurven sind:

Ergebnisse der Evaluation für das Seminar (Zahlentheorie).


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