Seminar (Zahlentheorie)
Elliptische Kurven
Christoph Baxa
250023 Seminar (Zahlentheorie),
Donnerstag 15 - 17 Uhr, Seminarraum D 1.03 (UZA 4), Vorbesprechung am 2. Oktober 2008.
Eine elliptische Kurve ist die Lösungsmenge einer kubischen Gleichung
- also sozusagen der nächste Schritt nach den Kegelschnitten, die ja
Kurven zweiter Ordnung sind. Man kann ihre Gleichung in der Regel auf die
Weierstraßsche Normalform
y2=x3+ax+b
bringen. Sind dabei a und b rationale Zahlen und K ein Körper der
Charakteristik 0, so kann man die Menge aller Lösungen (x,y) betrachten,
die in K2 liegen, also z.B. die Punkte mit rationalen, reellen oder komplexen
Koordinaten. Auf der Menge der Punkte E(K), die auf der elliptischen Kurve
liegen und Koordinaten in K haben, kann man eine Addition einführen, durch die
E(K) zu einer abelschen Gruppe wird. Geometrisch entspricht diese Summenbildung
der folgenden Konstruktion (hier auf den reellen Punkten der Kurve):
Um die Punkte P und Q zu addieren, verbindet man sie durch eine Gerade.
Man kann zeigen, daß diese Gerade mit der Kurve einen dritten Schnittpunkt R
haben muß. Diesen dritten Schnittpunkt spiegelt man an der x-Achse, um
die Summe P+Q zu erhalten. (Die Kurve muß wegen der Gestalt
der Weierstraßschen Normalform symmetrisch bezüglich der x-Achse sein.)
Elliptische Kurven sind ein wichtiges und sehr aktives Teilgebiet der modernen Zahlentheorie.
Sie werden in der Kryptographie angewendet und spielen eine entscheidende Rolle in Andrew Wiles Beweis
des großen Satzes von Fermat. In diesem Seminar wollen wir eine erste Einführung in ihre
arithmetische Theorie geben und uns mit den Punkten mit rationalen Koordinaten
- also E(Q) - beschäftigen. Ziel ist es, die folgenden beiden Sätze zu beweisen:
- Den Satz von Nagell-Lutz, der die Bestimmung aller Punkte endlicher Ordnung ermöglicht.
- Den Satz von Mordell, der besagt, daß die Gruppe E(Q) endlich erzeugt ist.
Wir werden dazu Teile des Buches
Rational Points on Elliptic Curves von Joseph H. Silverman und John Tate lesen. Eine Liste mit
Druckfehlern und Ergänzungen (von
Joseph Silvermans Homepage)
kann man unter der Adresse
http://www.mat.univie.ac.at/~baxa/RPECErrata.pdf
finden. Die Teilnahme sollte etwa ab dem Ende des ersten Studienabschnitts möglich sein.
Weitere Lehrbücher über elliptische Kurven sind:
- J.W.S. Cassels, Lectures on Elliptic Curves
- A.W. Knapp, Elliptic Curves
- J.H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves
- J.H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves
Ergebnisse der Evaluation
für das Seminar (Zahlentheorie).
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Fakultät für Mathematik.