Projektseminar (Zahlentheorie)

p-adische Analysis

Christoph Baxa und Johannes Schoißengeier

250171 Projektseminar (Zahlentheorie), Montag 13 - 15 Uhr, Seminarraum D 1.07 (UZA 4), Vorbesprechung am 1. Oktober 2007.

Man erhält die p-adischen Zahlen aus den rationalen, indem man zunächst Q als metrischen Raum vervollständigt, allerdings nicht bezüglich des üblichen Absolutbetrags, sondern in bezug auf den p-adischen Absolutbetrag

|x|p=p-ν.
Dabei ist p eine Primzahl und pν diejenige Potenz von p, die in der Primfaktorzerlegung der rationalen Zahl x auftritt. Man erhält so den Körper Qp, der - genauso wie R - nicht algebraisch abgeschlossen ist. Anders als im Fall des üblichen Absolutbetrags (in dem C wieder vollständig ist) ist der algebraische Abschluß von Qp aber nicht vollständig, sondern muß noch einmal vervollständigt werden, bevor man einen Körper erhält, der sowohl vollständig als auch algebraisch abgeschlossen ist.

Auf den p-adischen Zahlen kann man, ganz ähnlich wie auf R oder C, Analysis betreiben und z.B. Reihen oder stetige und differenzierbare Funktionen betrachten. Die sich so ergebende Theorie ist allerdings nicht immer analog zur reellen Analysis, z.B. gilt der im ersten Moment überraschende Satz, daß eine Reihe

∑n≥1an
genau dann konvergiert wenn die Folge (an)n≥1 eine Nullfolge ist.

In diesem Projektseminar werden wir den Aufbau der p-adischen Zahlen besprechen und eine Einführung in die p-adische Analysis geben. Wir werden dabei nach den Kapiteln I, III und IV der zweiten Auflage des Buches p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions von Neal Koblitz vorgehen.

Die Teilnahme sollte etwa ab dem Ende des ersten Studienabschnitts möglich sein. Spezielle Kenntnisse aus Zahlentheorie sind dafür nicht erforderlich.

Weitere Lehrbücher der p-adischen Analysis sind:

Ergebnisse der Evaluation für das Projektseminar (Zahlentheorie).

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