Seminar (Zahlentheorie)

Die Riemannsche Zetafunktion

Christoph Baxa und Johannes Schoißengeier

250454 Seminar (Zahlentheorie), Dienstag 13 - 15 Uhr, Seminarraum D 1.07 (UZA 4), Vorbesprechung am 3. Oktober 2006.

Die Riemannsche Zetafunktion ist ein zentrales Objekt der analytischen Zahlentheorie. Für komplexes s mit Res>1 kann man sie durch

ζ(s):=∑_n≥1n^-s

definieren. Ihre große Bedeutung verdankt sie der Tatsache, daß sich in ihren Eigenschaften die Verteilung der Primzahlen widerspiegelt. Für Res>1 kann sie auch als unendliches Produkt

ζ(s)=∏_p(1-p^-s)^-1

geschrieben werden, wobei p über alle Primzahlen läuft. (Macht man sich keine Sorgen wegen Konvergenzfragen, so erhält man die eine Darstellung sehr schnell aus der anderen mit Hilfe der geometrischen Reihe und der eindeutigen Primfaktorzerlegung.)

Der Zusammenhang zwischen Riemannscher Zetafunktion und Primzahlverteilung hat sich als so fruchtbringen für die Forschung erwiesen, daß nach ihrem Muster eine große Zahl ähnlicher Funktionen (andere Zetafunktionen und sogenannte L-Reihen) konstruiert wurde, in die arithmetische Informationen hineincodiert werden (wie z.B. Eigenschaften elliptischer Kurven). Es ist dies ein sehr wichtiges und aktives Forschungsgebiet, in dem die Riemannsche Zetafunktion, so kompliziert so auch sein mag, noch eines der einfacheren Objekte ist.

Auch die Riemannsche Zetafunktion selbst hat noch längst nicht alle ihre Geheimnisse preisgegeben. Die berühmte Riemannsche Vermutung ist eine Aussage über die Verteilung ihrer Nullstellen. Ihr Beweis würde mit einem Schlag eine riesige Zahl mit ihrer Hilfe abgeleiteter Resultate zu bewiesenen Sätzen machen. Sie ist eines der sieben Millennium Problems des Clay Mathematics Institute, für deren Beweis eine Million Dollar winken.

Wir wollen unter anderem die folgenden Themen behandeln:

Durch die oben beschriebenen Darstellung wird die Zetafunktion nur in der Halbebene Res>1 beschrieben und es folgt, daß sie dort eine holomorphe Funktion ist. Man kann sie zu einer meromorphen Funktion auf der gesamten komplexen Zahlenebene fortsetzen, die nur bei s=1 einen (einfachen) Pol besitzt.
Die Zetafunktion besitzt eine Symmetrieeigenschaft bezüglich der Geraden Res=½. Genauer gilt: Setzt man

ξ(s):=½s(1-s)π^-s/2Γ(s/2)ζ(s)

so ist ξ eine ganze Funktion und erfüllt ξ(1-s)=ξ(s).
Die Zetafunktion besitzt sogenannte „triviale“ Nullstellen bei s=-2,-4,-6,…, aber auch unendlich viele Nullstellen im „kritischen Streifen“ 0≤Res≤1. Die Aussage der Riemannschen Vermutung ist, daß letztere alle Res=½ erfüllen.
Zwischen den beiden Folgen der Primzahlen und der Nullstellen im kritischen Streifen bestehen erstaunliche Beziehungen, z.B. die sogenannten „expliziten Formeln“. Es ist sogar möglich, die Zetafunktion mit Hilfe dieser Nullstellen zu beschreiben, nämlich durch die Hadamardschen Produktdarstellung

s(1-s)Γ(s/2)ζ(s) =-e^bs∏_ρ(1-s/ρ)e^s/ρ.

(wobei ρ über eine geeignete Teilmenge der Nullstellen im kritischen Streifen läuft und b eine gewisse Konstante ist).

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