Vorlesung Algebraische Zahlentheorie

Christoph Baxa

878176 Algebraische Zahlentheorie, Montag bis Donnerstag 11 - 12 Uhr, Seminarraum D 101 (D4), Beginn am 4. Oktober 2004.

In dieser Vorlesung werden wir uns mit Ringen ganzer Zahlen in endlichen Körpererweiterungen von Q beschäftigen. Einfachstes Beispiel dafür ist der Ring Z[i] der Gaußschen ganzen Zahlen, der als Elemente alle komplexen Zahlen der Gestalt a+ib mit a,b aus Z enthält. Viele seiner Eigenschaften sind wie die von Z, viele sind aber auch anders. So gilt etwa auch in Z[i] eine eindeutige Primfaktorzerlegung - allerdings nicht mit den aus Z gewohnten Primzahlen. Denn nur Primzahlen p der Gestalt 4k+3 lassen sich in Z[i] nicht weiter zerlegen. Hat p diese Gestalt nicht, besitzt es nichttriviale Teiler, z.B. ist 5=(2+i)(2-i). In anderen Ringen ganzer Zahlen gibt es keine eindeutige Primfaktorzerlegung in Zahlen mehr, es gibt aber noch eine eindeutige Zerlegung in Ideale. (Diesem Umstand verdanken Ideale übrigens ihren Namen.)

Algebraische Zahlentheorie besitzt eine große Zahl von Anwendungen, etwa auf Diophantische Gleichungen und in der Diophantischen Geometrie, aber z.B. auch auf Verschlüsselungstechniken. Ein einfaches Beispiel dafür ist das folgende Resultat:

Satz. Die Gleichung y²+4=z³ besitzt nur (y,z)=(±11,5) und (y,z)=(±2,2) als ganzzahlige Lösungen.

Beim Beweis kann man im Ring Z[i] arbeiten, in dem sich diese Gleichung als (2+iy)(2-iy)=z³ schreiben läßt. Eine der wichtigsten Motivationen für die Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie war die Hoffnung, den großen Fermat auf ähnliche Weise beweisen zu können. (Das ist aber nur in wichtigen Spezialfällen gelungen. Der Beweis von Wiles und Taylor - Wiles verwendet eine große Menge zusätzlicher Hilfsmittel.)

Eine etwas detaillierte Beschreibung des Vorlesungsstoffs findet man im Vorlesungsverzeichnis.

Nötige Vorkenntnisse für den Besuch der Vorlesung sind lineare Algebra und Algebra etwa im Ausmaß der Vorlesung von Prof. Schoißengeier im SS 2004. Aus der Zahlentheorie reichen im wesentlichen Grundkenntnisse über Primzahlen und Kongruenzen.

... und noch ein paar Gründe für den Besuch der Vorlesung:

• Die Vorlesung wird an die Vorlesung über Algebra von Prof. Schoißengeier im SS 2004 anschließen und Ergänzungen zum Stoff dieser Vorlesung bringen, für die dort keine Zeit mehr war.
• Die Vorlesung über Algebraische Zahlentheorie wird nur selten gelesen. (Ich vermute, daß das letzte Mal im WS 1991/92 war.) Dieses Semester ist vielleicht Ihre einzige Chance, sie zu hören.

Wenn Sie Fragen zu dieser Vorlesung haben sollten, schreiben Sie bitte an baxa@ap.univie.ac.at.

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