Seminar Algebraische Zahlentheorie

Christoph Baxa

250120 Seminar (Zahlentheorie), Dienstag 13 - 15 Uhr, Seminarraum D 1.07 (UZA 4), Vorbesprechung am Montag, den 5. März 2012 um 12 Uhr im Seminarraum 2A310 (UZA 2). Ab 13. März findet das Seminar am Dienstag von 13 bis 15 Uhr im Seminarraum D 1.07 statt.

Dieses Seminar soll Studierenden, die die Vorlesung Algebraische Zahlentheorie gehört haben, Gelegenheit geben, ihr Wissen über dieses Gebiet zu vertiefen. Es ist insbesondere für HörerInnen meiner Vorlesung im WS 2011/12 gedacht, kann aber auch von jemand mit vergleichbarem Wissensstand besucht werden. Geplant sind die folgenden Themen:

• Bestimmung von Fundamentaleinheiten in reellquadratischen Zahlkörpern. Ist K ein reellquadratischer Zahlkörper, so hat die Einheitengruppe O_K^* nach dem Dirichletschen Einheitensatz die Gestalt O_K^*={±ηⁿ|n∈Z}, wobei η Fundamentaleinheit genannt wird. Zwar gibt es Formeln, die die Fundamentaleinheit für bestimmte Familien von reellquadratischen Zahlkörpern angeben, eine einheitliche Formel für alle solchen Körper ist aber nicht bekannt. Es ist allerdings möglich, Fundamentaleinheiten mit Hilfe von Kettenbrüchen zu bestimmen.
• Erweiterungen von Dedekindringen. Sind K⊆L zwei algebraische Zahlkörper und P≠0 ein Primideal von O_K, so zerfällt das von P in O_L erzeugte Ideal PO_L auf eindeutige Weise in Primideale von O_L, d.h. PO_L=Q₁^e₁...Q_g^e_g für gewisse Primideale Q₁,...,Q_g von O_L. Dabei sind die Q_i genau jene Primideale Q von O_L, die über P liegen, d.h. die die Eigenschaft Q∩O_K=P besitzen. Der Exponent e_i wird Verzweigungsindex genannt. Bezeichnet man mit f_i den Grad der Körpererweiterung f_i=[O_L/Q_i:O_K/P] (der als Trägheitsgrad bezeichnet wird), so besteht die Beziehung e₁f₁+···+e_gf_g=[L:K]. Je nach den auftretenden Werten der e_i und f_i sagt man nun, P sei in L zerlegt bzw. verzweigt und es stellt sich die Frage, welche Primideale von K diese Eigenschaften besitzen.
• Kreisteilungskörper. Ist ζ eine Einheitswurzel, so bezeichnet man den Körper Q(ζ) als Kreisteilungskörper. Man erhält so eine sehr wichtige Familie algebraischer Zahlkörper, deren Eigenschaften intensiv studiert wurden. So kann man z.B. zeigen, dass der Ring der ganzen Zahlen von Q(ζ) der Ring Z[ζ] ist und dass {1,ζ,...,ζ^φ(n)-1} eine Ganzheitsbasis ist, wenn ζ eine primitive n-te Einheitswurzel ist (wobei φ die Eulersche Phifunktion bezeichnet).
• Dedekindsche Zetafunktion. Man definiert die Dedekindsche Zetafunktion ζ_K eines algebraischen Zahlkörpers K als ζ_K(s)=∑_IN(I)^-s, wobei I die ganzen Ideale ≠0 von K durchläuft. Sie verallgemeinert die Riemannsche Zetafunktion, besitzt zahlreiche vergleichbare Eigenschaften (wie z.B. eine Darstellung als Eulerprodukt) und ermöglicht die Bestimmung der Klassenzahl von K mit Hilfe der analytischen Klassenzahlformel.

Literatur:

• S. Alaca, K.S. Williams, Introductory Algebraic Number Theory
• D.A. Marcus, Number Fields
• W. Narkiewicz, Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers
• J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie
• I. Stewart, D. Tall, Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem
• H.P.F. Swinnerton-Dyer, A Brief Guide to Algebraic Number Theory

Zur Seite der Fakultät für Mathematik.